19.11.17

Kolam (2) : Aspectos Aritméticos

Una vez que hemos aprendido a realizar las formas básicas del kolam, nos gustaría comentar en esta sencilla entrada algunos aspectos aritméticos bastante interesantes, en los que interviene el máximo común divisor de dos números.

En nuestro ejemplo de kolam básico 3×3 eran necesarias 3 curvas para completar el kolam. ¿Será una coincidencia lo del 3? No, como ya veremos: en un kolam cuadrado o rectangular se puede calcular de antemano el número de curvas que van a salir.

Cuando la trama es 3×3 pivotes, necesitamos 3 curvas cerradas diferentes para completar el kolam.

También pusimos un ejemplo de kolam 2×3, en él bastaba una curva para recorrer todo el kolam.

En esta trama 2×3 sólo ha sido necesaria 1 curva que, haciendo todas los giros y rebotes, ha completado el kolam.

Probemos ahora con un rectángulo 3×4. Se puede comprobar que el kolam también se completa con una sola curva.

Para el kolam de 3×4 empezamos en cualquier punto x y vamos recorriendo las diagonales.

Comprobaremos que todas las diagonales van siendo repasadas en un solo trazo.


Finalmente la curva se cierra sobre sí misma. Sólo ha sido necesaria una curva para recorrer todas las diagonales.

Si probamos ahora con un rectángulo 4×6 veremos que necesitamos 2 curvas distintas.

Esta es una de las 2 curvas del kolam 4×6.

Aquí tenemos el kolam 4×6 completo, con sus dos curvas, la primera en azul y la segunda en verde.

En general, si el rectángulo de pivotes es m×n, para completar el kolam necesitamos un número de curvas igual al máximo común divisor de m y n. Veamos más ejemplos.

Tenemos el rectángulo 6×9, sabemos que el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, por lo tanto es de esperar que sean tres las curvas cerradas que componen el kolam.

Esta es la primera curva. 

La segunda curva del kolam 6×9 es una versión agrandada de la curva 2×3 (véase el gráfico de más arriba). Proponemos al lector que investigue las condiciones para que curvas pequeñas se repitan en tamaño mayor.

La tercera curva.

El kolam 6×9 completo, con sus tres curvas.
También podemos comprobar que en el rectángulo 6×8 está compuesto por 2 curvas, ya que su máximo común divisor es 2. Se puede observar que dividiendo este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×6.



El rectángulo 6×8 completo con sus dos curvas.

Y un último ejemplo, el rectángulo 4×8, con 4 curvas, correspondientes al máximo común divisor de 4 y 8. Se puede observar, igual que en el anterior, que si dividimos este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×4.





El kolam completo 4×8, que en realidad es un kolam 4×4 duplicado.

Como se puede comprobar, ya con números pequeños empiezan a salirnos kolam interesantes y con bastantes volutas. ¿Qué será dibujar un kolam 18×24, compuesto de 6 curvas? ¿Y dibujar un kolam 35×49, compuesto de 7 curvas? La tarea se agranda con rapidez conforme nos imaginamos parejas de números cada vez más grandes con máximos comunes divisores también mayores.

En la siguiente entrada sobre el Kolam, veremos cómo se pueden ampliar los tipos de dibujos, cambiando la distribución de las tramas de pivotes, dejando huecos dentro de las tramas, e introduciendo entre los pivotes muros que excluyen del dibujo a ciertos puntos x para impedir que las curvas pasen por ellos. Todos los kolam se pueden dibujar siguiendo las reglas básicas de identificar los puntos x que contiene la trama, y trazar diagonales que pasen por dichos puntos x, usando los pivotes para girar la línea hasta encontrar el punto x más próximo y la siguiente diagonal.

18.11.17

Sudoku de letras (6)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  I  M  N  O  P  S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el que vive y trabaja en el campo.


14.11.17

[El Problema de la Semana] Noche fría

Este es un problema muy adecuado para las temperaturas que estamos empezando a sufrir.

-¿Recuerdas aquella noche fría del año pasado, la primera verdadera nevada en muchos años? -preguntó Tony-. Tú querías que condujera hasta el centro.
-No lo hiciste, y por eso nos perdimos una buena fiesta -replicó Nina-. No lo olvido. ¿Qué temperatura hacía?
-Una temperatura bastante curiosa -respondió su marido después de pensarlo-. El número de grados Fahrenheit y el de grados Celsius terminaban ambos en 5.

¿Qué valores son esos?

La solución, tiritando, más abajo.

Este diseño ha sido tomado de Vexels. Es un ejemplo de la colección "copo de nieve". Sin embargo no coinciden con la forma de los copos reales. Los copos de nieve reales tienen una forma hexagonal (seis puntas) y en este diseño, todos los "copos" tienen una forma octogonal (ocho puntas). Aunque los dibujos son parecidos a los copos de nieve de verdad, matemáticamente sería como dibujar un perro con seis patas, o un pájaro con cuatro alas.

Solución:

Debemos buscar la manera de convertir grados Celsius en Fahrenheit o al revés. Hay un par de fórmulas que relacionan un tipo de grados con otros. Por ejemplo tenemos la fórmula:

F = 1.8 · C + 32

Donde C es la cantidad en grados Celsius o centígrados y F el resultado en grados Fahrenheit. Ahora basta ir probando con cantidades en Celsius que terminen en 5, sin olvidarse de los números negativos.

Para 5º C, su temperatura equivalente es 41º F.
Para 15º C, su temperatura equivalente es 59 º F.
Para 25º C, su temperatura equivalente es 77º F.
Para 35º C, su temperatura equivalente es 95º F. ¿Hemos encontrado la respuesta? ¡No! ¡El problema nos dice que la noche es fría, no calurosa! Hay que buscar temperaturas más bajas.

Para -5º C, su temperatura equivalente es 23º F.
Para -15º C, su temperatura equivalente es 5º F. ¡Eureka! ¡Ésta es la temperatura!

La solución por tanto es -15º C, o lo que es lo mismo, 5º F.

Ampliación: la fórmula que relaciona los grados Celsius con los Fahrenheit es un ejemplo de función lineal. La variable independiente es C, y la dependiente es F. Resolver este problema de la semana equivale a darle valores enteros terminados en 5 a la variable dependiente C hasta encontrar en F un valor correspondiente también entero y terminado en 5.

La función se puede representar gráficamente. Su gráfica es una línea recta, de pendiente 1.8.

Gráfica de la función que relaciona grados Celsius con Fahrenheit. Está señalado el punto solución del problema.
La gráfica está hecha con el programa Geogebra.

Nota: este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

13.11.17

Kolam (1) : Iniciación

Cuaderno de bitácora: en nuestros viajes por los matemares, hemos hallado otra de esas joyas que se encuentran entre las matemáticas, el arte y el folklore de los pueblos: el Kolam. Esta joya también la hemos obtenido de ese cofre-libro titulado Bricológica (ver la entrada sobre Papirolas).

Si nos vamos acercando al Kolam desde un punto de vista matemático, descubriremos que sus inicios son muy simples. En nuestros ratos aburridos es normal que a veces dibujemos garabatos en un papel de nuestro cuaderno, de un periódico, o del margen de un libro. Algunos garabatos pueden ser simples curvas cerradas. Esas curvas se pueden enredar sobre sí mismas, cortándose, haciendo nudos. Para que esos nudos se dispongan de una forma geométrica regular, nos ayudamos de puntos que harán de pivotes de giro.

Si queremos empezar desde lo más sencillo, podemos empezar de cero: la curva cerrada más simple es un círculo o un óvalo (un cero) que gira alrededor de un centro o pivote. La siguiente curva en orden de sencillez es un 8, o el símbolo del infinito, que se retuerce con ayuda de dos pivotes. A partir de ahí, podemos ir añadiendo pivotes y volutas y construir curvas cada vez más complejas.

El Kolam empieza desde lo más simple: una curva que rodea un punto (un cero) o que rodea dos puntos (el infinito) o que rodea a tres puntos...

También podemos combinar varias curvas cerradas y hacer que sus cruces se combinen con las volutas de las propias curvas.

Aquí tenemos ejemplos de varios kolams simples sobre tramas de pivotes cada vez más amplias. Cada curva cerrada ha sido dibujada de un color diferente

El Kolam en su forma básica, consiste precisamente en esto: curvas cerradas combinadas que se curvan en torno a pivotes, que se cruzan y se cortan a sí mismas y unas a otras, formando motivos geométricos.

Para construir el Kolam nos guiamos por una cuadrícula básica. En dicha cuadrícula vamos a señalar los puntos que nos van a servir de pivotes, separados entre sí dos cuadritos en cada dirección.

Aquí tenemos una sencilla trama de pivotes de tamaño 4×4.
Obsérvese que los pivotes están separados dos cuadritos en cada dirección.

Tomando como referencia los pivotes básicos, que delimitan una trama cuadrada de 2×2 cuadritos, hay otros dos tipos de puntos:

Por un lado tenemos los puntos que se encuentran al centro de cada grupo de cuatro pivotes; a estos puntos los vamos a llamar puntos vacíos, pues por ellos no va a pasar ninguna curva, tan solo serán huecos en el dibujo.

En el centro de cada cuadrado de cuatro pivotes hay un punto vacío, que aquí representamos en color azul.
Por ellos no pasan las curvas del kolam.

Por otro lado tenemos los puntos que están entre cada dos pivotes, a la misma distancia de cada pivote; a estos puntos los llamamos puntos de diagonal o puntos x, pues por ellos van a pasar las curvas del kolam en diagonal, cruzándose y formando una x.

Hemos señalados los puntos x en rojo. Las líneas del kolam siguen las diagonales de puntos x.

Este es el kolam terminado.

Es muy importante tener claro cuál es el papel de cada punto, y aquí lo resumimos: los puntos pivote por ellos no pasan las curvas, pero sí son rodeados por las curvas; los puntos vacíos por ellos no pasan las curvas, permanecen al margen de todos los movimientos; los puntos x son por los que sí pasan las curvas, y en todos hay un cruce en forma de x, salvo en aquellos que expresamente han sido excluidos del paso de las curvas.

Una vez que tenemos claro los tipos de puntos que hay en la cuadrícula, el siguiente paso es definir el grupo de pivotes sobre el que se trazará el kolam, aclarando cuáles serán los límites del dibujo.

Para empezar podemos dibujar una trama de puntos pivote cuadrada o rectangular: empecemos por un cuadrado de 3×3:



Dibujamos la primera curva, empezando en uno de los puntos x entre dos pivotes, y siguiendo la diagonal para pasar por los demás puntos x. El recorrido de la línea debe ser recto y no debe torcerse hasta alcanzar el final de la trama. En ese momento en que nos salimos de la trama giramos alrededor del pivote correspondiente más cercano, buscando el siguiente punto x. El giro puede ser de 90º, de 180º, de 270º o incluso de 360º, pero siempre debemos hacer el mínimo giro necesario.

La curva, después de un recorrido más o menos largo, regresará a su punto de partida y quedará cerrada.

La línea empieza en un punto x, siguiendo una diagonal sin desviarse, hasta que sale de la trama.
Entonces gira alrededor del pivote más próximo.
En este ejemplo ha tenido que dar un giro de 180º para regresar a la trama y continuar por otra diagonal.

Continuamos la línea por la diagonal, y cuando nos salimos de la trama hacemos los giros necesarios para regresar a ella.
Finalmente la línea vuelve a su punto de partida y la curva se cierra.

Si partimos de otro punto x, tenemos otra curva. En este ejemplo, la línea al salir de la trama "rebota" o regresa a la trama dando un giro de 90º 

Aquí tenemos la curva completada.

En el ejemplo de 3×3 esta es la curva que falta.


Y aquí la tenemos completada.

Kolam 3×3 completo con tres curvas.

Hay kolams que están formados por varias curvas cerradas como el de 3×3. Pero hay otros que una sola curva completa el kolam. Veamos el ejemplo del kolam 2×3:

Empezamos en cualquier punto x.

Continuamos el dibujo siguiendo las diagonales y girando en los pivotes de los extremos.

La línea regresa al punto de partida, pero por una diagonal diferente, por lo tanto prosigue su recorrido sin cerrarse. 

La línea completa su recorrido.

Como regla general, todos los pivotes deben quedar completamente rodeados por curvas. Cuando cerramos una curva debemos comprobar si todos los pivotes están rodeados y si hemos pasado por todos los puntos x posibles, cruzando dos curvas en cada punto x siguiendo las dos diagonales; si no fuera así elegimos un punto x por el que falte alguna curva y comenzamos un nuevo trazo.

En próximas entradas continuaremos explicando más aspectos del kolam.

12.11.17

Papiroflexia Matemática: Papirolas

Cuaderno de bitácora: hace ya unos años llegó a mis manos el estupendo libro de Robert Ghattas, Bricológica - Treinta objetos matemáticos para construir con las manos, de la editorial Rialp.

[portada tomada de la casa del libro, en ella se puede apreciar la foto de un icosaedro estrellado, hecho a base de módulos de papiroflexia]

Uno de los capítulos del libro está dedicado a la construcción de módulos de papiroflexia básicos o papirolas, con los que se pueden montar luego diferentes estructuras geométricas: figuras bidimensionales, (el molinete, la estrella, tapetes), y también tridimensionales (cubos y conjuntos de cubos, el octaedro estrellado, el icosaedro estrellado).

Para construir los módulos básicos o papirolas, emplearemos cuadrados de papel de diferentes colores. Se pueden emplear papel especial para origami, pero una opción cómoda y barata se encuentra en los tacos cuadrados de papel de notas que venden en las papelerías, pero que no sean los adhesivos.


Partiendo de un cuadrado de papel, podemos formar la papirola con los siguientes pasos:

1. Se dobla el papel por la mitad y luego se desdobla.

2. Se dobla cada mitad hasta hacer coincidir el borde con el centro del papel.

3. Aquí tenemos el resultado.

4. Ahora vamos a doblar en triángulo, empezando por la esquina superior derecha.

5. Hacemos coincidir el borde derecho del papel con el borde inferior.

6. Con la esquina inferior izquierda hacemos lo mismo, obteniendo este romboide.

7. Se desdobla el papel, y observamos que nos han quedado unos triángulos pequeños a modo de solapas en los extremos.

8. Los triángulos pequeños los doblamos hacia adentro del papel, ocultándolos. 

9. Se vuelve a doblar la esquina superior derecha, ahora introduciendo la esquina dentro del "bolsillo" inferior.

10. Hacemos lo mismo con la esquina inferior izquierda, metiéndola en el correspondiente bolsillo superior.

11. Aquí tenemos el resultado.

Es importante que todas las papirolas nos queden en la misma orientación, para que luego se puedan montar. Si hay papirolas de orientaciones diferentes no encajarán correctamente y no podremos formar las figuras tridimensionales.

Si en el paso 5 de los anteriores hemos doblado la esquina superior izquierda en lugar de la derecha, la papirola nos queda en otra orientación. Papirolas de distinta orientación no encajan correctamente.

Si queremos empezar formando un cubo, debemos construir seis papirolas. Es recomendable tomar tres colores para los papeles, es decir, dos papeles de cada color, 6 en total. También se puede hacer con todos los papeles del mismo color, o con los seis de colores diferentes, etc. Eso depende del gusto de cada uno y de la disponibilidad de colores.

Ejemplo de papirolas. Todas deben tener la misma orientación.

A cada papirola se le doblan los "triángulos" de los extremos para que quede de frente un cuadrado con una x en medio.


Ya tenemos las seis papirolas y ahora viene el momento de montarlas para formar el cubo. La regla básica es introducir cada oreja triangular de una papirola por el lateral del cuadrado de otra papirola. Las orejas triangulares no deben quedar debajo del cuadrado de las otras papirolas, esto también impediría el montaje completo de nuestro cubo.


Siguiendo un patrón lógico y buscando la forma geométrica del cubo, al final no es demasiado difícil conseguir completarlo. En Youtube hay varios tutoriales en vídeo que muestran la construcción completa.

Hexaedro o cubo.

Una vez que dominamos la construcción del cubo, podemos atrevernos a construir un octaedro estrellado. Para ello necesitaremos 12 papirolas, y es recomendable elegir grupos de 3 papeles de 4 colores diferentes. Además, las papirolas tendrán un doblez más en una de las diagonales del cuadrado para facilitar la construcción del poliedro.

Las papirolas deben doblarse por una de las diagonales del cuadrado, (la diagonal que permite que la papirola se pliegue como un acordeón en una forma triangular)

La forma básica que va a componer el octaedro estrellado y luego el icosaedro estrellado es la pirámide triangular formada con tres papirolas. El octaedro va a tener ocho de estas pirámides y el icosaedro veinte pirámides.

Octaedro estrellado.

El mayor desafío es la construcción de un icosaedro estrellado, con 30 papirolas, en grupos de 6 papeles de 5 colores diferentes.

Icosaedro estrellado

Aquí podemos ver los tres sólidos juntos y comparar sus tamaños relativos.

Encajando papirolas en un plano sin darles forma tridimensional, podemos formar tapetes, partiendo de las figuras simples de un molinete o una estrella

Preparamos cuatro papirolas en dos parejas y las unimos de la forma indicada.

Asi obtenemos la figura llamada estrella.

Si las unimos en otra posición diferente...

... Obtenemos el molinete. Podemos ampliar los tapetes uniendo cuatro estrellas entre sí o cuatro molinetes entre sí, y de ahí en adelante.

Si hacemos varios cubos, podemos combinarlos para formar poliedros más alargados y complejos. Por ejemplo, podríamos hacer el puzle del cubo Soma, todo de papiroflexia, partiendo de 27 cubos. Es un trabajo muy laborioso y de mucho tiempo, que quedará para otra ocasión.