10.12.22

[El Problema de la Semana] La servilleta y el bizcocho

En esta ocasión traemos un problema apetitoso:

Hemos cocinado un bizcocho rectangular, y sus medidas son de 30cm de largo por 10cm de ancho. Lo queremos cubrir con una servilleta cuadrada de papel que tiene 30 cm de diagonal, con lo cual quedan unos triángulos de bizcocho sin cubrir, como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área total de lo que queda sin cubrir? ¿Cuánto mide el área cubierta?

La solución después de la ilustración.


[En la ilustración vemos un conocido fractal tridimensional: la esponja de Menger, el cual se forma partiendo de un cubo, dividiéndolo en 3·3·3 = 27 cubos más pequeños, como el cubo de Rubik, y quitando el cubo central y los cubos que están al centro de cada cara, 7 cubos en total. Luego, con los 20 cubos restantes, se vuelve a repetir la operación, y así hasta el infinito.]

 

SOLUCIÓN:

A primera vista el problema puede parecer complicado, incluso para aplicar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, cuando examinamos bien las superficies a calcular, nos damos cuenta que son cuatro pequeños triángulos rectángulos, en cada uno de los cuales el área se calcula de forma muy sencilla.

Área de uno de los triángulos = (base · altura) / 2 = (5 · 5) / 2 = 12.5 cm2.

Área total sin cubrir (4 triángulos) = 12.5 · 4 = 50 cm2.

También es muy fácil calcular el área cubierta por la servilleta:

Área total del bizcocho: base · altura = 30 · 10 = 300 cm2

Área cubierta: 300 - 50 = 250 cm2.

 

AMPLIACIÓN:

Para los que se quedaron con las ganas de aplicar el teorema de Pitágoras, ahí va la siguiente pregunta: Con los mismos datos, si ponemos la servilleta con los lados paralelos a los lados del bizcocho, ¿qué área del bizcocho quedará sin cubrir? ¿Qué área quedará cubierta?

9.12.22

Sudoku de letras (34)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   C   I   M   N   O   R   U   S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: habitantes de cierta provincia española.
 

6.12.22

¡Cuidado con esta regla!

Cuaderno de bitácora: el otro día, como suele ocurrir de vez en cuando, abordaron nuestro Barco Escuela los representantes de un sindicato de oficiales. Además de informar de diversos temas, traían varios recuerdos de propaganda, entre los cuales venían unas reglas hechas de un material plástico.

Como quiera que para nosotros los matenavegantes las reglas son muy útiles, tomé varias, dispuesto a usarlas en mis clases con los grumetes. Sin embargo, una inquietud me vino de repente, y me pregunté si estas reglas estaban bien hechas, si coincidían plenamente con los patrones oficiales.

Mi primera sorpresa fue al comparar los 20 cm que mostraban con los de otra regla, y resultaron más cortos, más de medio centímetro. Fue después de esto cuando me llevé la segunda y más terrible sorpresa: al contar los centímetros, ¡faltaba el centímetro 11, había un salto del 10 al 12!

¡Cuidado con esta regla! Como puede verse en la imagen, falta el centímetro 11, y la escala pasa directamente del 10 al 12.

Además, si comparamos la regla con otra hecha correctamente con los patrones de medida, vemos que los centímetros son ligeramente más largos, pero al faltar el centímetro 11, los 20 centímetros acaban más de medio centímetro antes de lo que debía ser.

Esta es una regla inservible para su función, sin embargo es un motivo de inspiración para muchas reflexiones ácidas, sobre todo al compararla con el eslogan.

¿Los que están "orgullosos de ser docentes de la educación pública" presentan esta regla defectuosa e inútil para que la use quién?

¿La falta de centímetros se debe a los recortes?

¿Nadie se fijó en la regla antes de repartirla como propaganda? ¿O es que hoy se presta atención a otros detalles, olvidando los fundamentales?

Y un largo etcétera. 

2.12.22

Sudoku de letras (33)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   B   C   E   I   N   O   R   S

 
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: persona que escribe muy bien.
 

 

30.11.22

Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato

Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner. De él hemos hecho una actualización y adaptación.

En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:

Figura 1. Esta es la parte delantera de la hoja. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha. La zona gris dentro de los marcos hay que recortarla, de manera que nos queden dos ventanas.

Figura 2. Esta es la parte trasera de la hoja.

El juego consiste en doblar el papel siguiendo las líneas de puntos, de forma que quede totalmente plegado, y que por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato.

Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:

https://youtu.be/N5LScXZ_GaA

13.9.22

Otra propiedad del folio A4

Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?

La situación es como se ve en el gráfico.


 
El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?

El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.
 
Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:
 
De aquí se deduce que
Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.
 
 
Ya tenemos el valor de la x. Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4. (Véase La raíz cuadrada de 2 en un folio A4)
Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.
 

En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.

Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.

Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.

Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.

Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.

Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir. Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1.

También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: https://youtu.be/x-HMCKHOIVs

7.7.21

Sudoku de letras (32)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A   C   E   I   L   O   R   T   V
 
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: magnitud que no es escalar.