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El tronco de la pirámide

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Cuaderno de bitácora: recientemente ha caído en nuestras manos un excelente libro, La Secta de los Números (El Teorema de Pitágoras) de Claudi Alsina, publicado en formato de revista monográfica por RBA en edición especial de National Geographic.
Hablando sobre los papiros egipcios matemáticos que se conservan, este libro-revista menciona el papiro de Moscú, y en él sobre un problema que presenta la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide: Junto al papiro Rhind, el más importante documento matemático del antiguo Egipto es el famoso papiro de Moscú, datado en el año 1890 a.C., actualmente conservado en el Museo de Bellas Artes de Moscú, del que toma el nombre. Su forma es peculiar: tiene 5 metros de longitud, pero tan sólo 8 centímetros de anchura. En ese angosto espacio, aparecen 25 problemas matemáticos (...) En el papiro de Moscú aparecen cálculos sobre el volumen de una pirámide truncada, pero sobre todo destaca el problema 14, que presenta por primera vez la fór…

El pentágono y la razón áurea

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Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior, hicimos la construcción del pentágono a partir del rectángulo áureo. Uno se podría preguntar qué relación hay entre el pentágono y la razón áurea que permite hacer dicha construcción. En esta entrada vamos a justificar que la razón áurea se encuentra dentro del mismo pentágono de forma muy natural.

Primero consideramos un pentágono regular de lado 1:

Trazamos una de las diagonales, EC, y se ve claramente que es paralela al lado AB; vamos a calcular lo que mide esta diagonal, llamémosle x:


Trazamos una segunda diagonal, AD, obteniendo el punto F, y nos damos cuenta que ABCF es un rombo, pues AD es paralelo e igual a BC, por tanto AB y FC son iguales y paralelos, y lo mismo ocurre con AF y BC, y los cuatro lados del rombo miden 1:

Si trazamos ahora otra diagonal, AC, tenemos dos triángulos ACF y EFD, que por el teorema de Tales, al tener dos lados en las mismas rectas y un tercer lado paralelo, son semejantes. Las medidas de dichos lados s…

Una construcción del pentágono

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Cuaderno de bitácora: siguiendo con las construcciones geométricas, a continuación vamos a levantar un pentágono regular a partir del rectángulo áureo.
Comenzamos dibujando un cuadrado ABCD de lado 1 (el lado AB va a ser también un lado del pentágono que queremos construir):

Desde el punto medio E del segmento AB trazamos un arco de radio EC, que corta a la recta AB en dos puntos, F y K.

Completando con los puntos G y L obtenemos dos rectángulos áureos, el AFGD y el KBCL:
Si trazamos dos arcos de circunferencia de radio 1, uno con centro B y el otro con centro F, se cortan en un punto I; unimos B con I y ya tenemos el segundo lado del pentágono, BI:

Hacemos lo mismo con sendos arcos de centros A y K respectivamente y radio 1 y obtenemos el punto M; el segmento AM será el tercer lado del pentágono:

Lo único que nos queda es trazar los dos lados restantes, para ello trazamos dos arcos con centro en I y M respectivamente y radio 1, y se cortan en la parte superior en el punto N. Los seg…

Ramas matemáticas

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Aunque las Matemáticas parecen ser, para el lego en la materia, una sola cosa que trata de números y sus operaciones, en realidad es una ciencia con diversas ramas. De hecho la misma palabra "Matemáticas" está en plural, indicando que es algo múltiple y no unívoco.
Durante los estudios básicos, la Secundaria y el Bachillerato, la asignatura de Matemáticas se da en un bloque único; el profesor puede mencionar algunas de sus partes, como la aritmética, el álgebra o la geometría, pero no es hasta que uno ingresa en la Universidad cuando esas ramas se separan en disciplinas distintas, con nombres propios.
Cuando en mis años de preparación para matenavegante ingresé en la Facultad de Matemáticas, me sorprendió bastante tener solo cuatro asignaturas en el primer curso: Geometría, Álgebra, Análisis Matemático y Topología. La organización de las clases era bastante sencilla, cuatro horas cada mañana, con cada una de estas cuatro materias, y un recreo de media hora en medio. Entrába…

Construcción del rectángulo áureo

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Cuaderno de bitácora: recientemente hemos tenido la oportunidad de leer el magnífico libro El Código Secreto, de Priya Hemenway. Se trata de un libro sencillo en su contenido, ilustrado con una gran cantidad de imágenes, y a un precio muy asequible, dada la calidad de su impresión.
El libro está centrado en el estudio de la proporción áurea, en su origen y descubrimiento, su relación con la sucesión de Fibonacci, y su aparición en la naturaleza, el arte, el pensamiento y la mística.
La proporción áurea es aquella que se establece en un conjunto al que se divide en dos partes, de forma que la relación o razón entre el tamaño del conjunto y el de la parte mayor coincide con la razón entre la parte mayor y la menor.
Si esto lo visualizamos en un segmento limitado por dos puntos AB, la cuestión es determinar un tercer punto C en el interior del segmento tal que se dé la siguiente proporción entre las longitudes: AB/AC = AC/BC.

Si suponemos que AC = 1, AB = x y BC = x − 1, entonces la pro…

La fórmula sin apotemas

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Cuaderno de bitácora: hace ya bastante tiempo publicamos un artículo titulado Apotemas Falsas, en el que se explicaba que la conocida fórmula para calcular el área de un polígono regular, perímetro por apotema partido por dos, era una fórmula tramposa.

Debemos tener en cuenta que si sabemos el perímetro de un polígono regular, y por tanto conocemos la longitud del lado, entonces la apotema está determinada unívocamente por ese lado, es decir, no podemos "inventarnos" la longitud de la apotema una vez que tenemos el perímetro, pues si lo hacemos así lo más probable es que no pueda existir ningún polígono regular que cumpla con las dos medidas. Por tanto, debemos tener una fórmula en la que sólo intervenga el lado del polígono.

A continuación vamos a calcular esa fórmula explícita que sólo depende del lado para hacer el cálculo del área. Para ello necesitamos echar mano de la trigonometría.
Supongamos que tenemos un pentágono regular como en el dibujo:
Para calcular el área d…