31.12.15

Una moneda para un sorteo

Cuaderno de bitácora: en relación con la situación que se dio en cierto colegio de Granada, en la que se explica lo erróneo del método empleado por algunos Directores para realizar sorteos de plazas escolares, podemos reflexionar qué se puede necesitar para hacer un sorteo probabilísticamente justo con los mínimos elementos posibles.

Cuando se estudia probabilidad, ¿cuál es el ejemplo más simple que se pone de experimento aleatorio? Suele ser el lanzamiento de una moneda. Cuando echamos una moneda al aire, al caer puede quedar expuesta una de sus dos caras (cara o cruz), tenemos, por tanto, dos sucesos elementales posibles C = cara, X = cruz.

Pero repitiendo el lanzamiento, obtenemos combinaciones de sucesos elementales que nos pueden ayudar, por ejemplo, a realizar un sorteo justo con la ayuda de tan solo una moneda.

Tomemos el ejemplo que tratábamos en el caso del sorteo de las plazas escolares. Se trata de elegir aleatoriamente un número entre 111 posibilidades. ¿Se puede hacer con la exclusiva ayuda de una moneda?

La idea es ir tomando el conjunto de números, y dividirlo en dos partes iguales, asignar C a una de las partes y X a la otra, y luego lanzar la moneda para quedarnos con una de las mitades. A esta mitad la dividimos a su vez en dos partes y volvemos a asignar C a una parte, y X a la otra, y así sucesivamente, hasta que nos quedemos solamente con un número, que será el número elegido.

Pero 111 no se puede dividir en dos conjuntos iguales, porque es un número impar, y luego debemos seguir dividiendo por dos varias veces.

Necesitamos utilizar potencias de dos; las potencias de dos con exponente un número entero positivo son: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.

Para el ejemplo que tenemos nos basta tomar 128. Cogemos pues 128 números. Como en realidad los alumnos son 111, del 112 al 128 los números corresponden a alumnos ficticios, o por decirlo de otra manera, si al final del sorteo tenemos la mala suerte de que es elegido uno de estos alumnos ficticios, el sorteo queda anulado y se vuelve a repetir desde el principio.

Tomamos estos 128 números, los dividimos en dos partes iguales de 64 cada una, del 1 al 64 y del 65 al 128. Si sale C, nos quedaremos con la primera mitad, si sale X con la segunda.

Lanzamos la moneda, nos sale, por ejemplo, X, y nos quedamos con los números del 65 al 128 (son 64 números en total). Volvemos a dividir el grupo en dos partes iguales, de 32 números; si sale C nos quedamos con los números del 65 al 96, si sale X, con los números del 97 al 128.

Lanzamos la moneda y nos sale en este segundo intento X otra vez, nos quedamos con los números del 97 al 128.

Así podemos seguir: dividimos el grupo en dos mitades, del 97 al 112, del 113 al 128; lanzamos la moneda y nos sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos otra vez: del 97 al 104, del 105 al 112; lanzamos y sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos: del 97 al 100, del 101 al 104; lanzamos y sale X.

Dividimos: del 101 al 102, del 103 al 104; lanzamos y sale C.

Ahora nos quedan solo dos números, el 101 y el 102; lanzamos y sale C. Nuestro número elegido es el 101.

La sucesión XXCCXCC nos ha llevado al número 101.

Cualquier matenavegante un poco curtido está observando que este método se relaciona íntimamente con los números binarios. En efecto, la sucesión XXCCXCC se puede trasladar de forma natural a número binario con sólo sustituir las X por 1 y las C por 0.

XXCCXCC → 1100100

Sin embargo, si convertimos nuestro número binario en número decimal, parece que las cuentas no coinciden:

1100100 = 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 64 + 32 + 4 = 100.

Sin embargo el número elegido no es 100, sino 101, ¿por qué esta discrepancia?

Si nosotros tomamos los números binarios de siete cifras desde 0000000 a 1111111, en sistema decimal estos números representan del 0 al 127. En nuestro sorteo hemos considerado los números del 1 al 128. Es decir, es como si tomáramos la lista de números binarios de siete cifras y la desplazáramos un lugar, por lo tanto la conversión en caras y cruces a números binarios debe hacerse sumando una unidad al resultado:

XXCCXCC = 1100100 + 1 = 100 + 1 = 101

Con este ejemplo podemos ver que se puede realizar un sorteo justo aunque no se disponga más que de una moneda. Siempre que la moneda no esté trucada.

1.11.15

[El Problema de la Semana] Negocios con trampa

Veamos el primer problema que se le plantea a los grumetes en este nuevo periplo:

Te ofrecen un par de negocios. En el primero vas a ganar 10 € el primer día, 20 € el segundo día, 30 € el tercer día, y así sucesivamente hasta llegar al día 15. En el segundo ganas 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo día, 0.40 € el tercer día, 0.80 € el cuarto día, y así sucesivamente hasta el día 15. Si te ofrecen escoger entre uno de los dos negocios, ¿con cuál te quedarías?

La solución, más abajo de la ilustración.


[La ilustración se ha tomado de Mathspace, en un artículo donde se pone un ejemplo de una progresión geométrica. El artículo está en inglés.]

SOLUCIÓN:

En el primer negocio tenemos una progresión aritmética. Se gana 10 € el primer día, 20 € el segundo, 30 € el tercero, etc. Entonces tenemos una sucesión de números que empieza en 10 y va aumentando, sumándole 10 cada día. Claramente si son quince días, el día quince se ganará 150 €. El problema está en sumar:
10 + 20 + 30 + ... + 150
No es una suma muy larga, se puede hacer directamente o emplear la fórmula de las progresiones aritméticas: (10 + 150) · 15 / 2 = 1200.
El resultado es 1200 euros ganamos con el primer negocio.

En el segundo negocio tenemos una progresión geométrica. Parece que empieza por muy poco dinero, ganando 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo, 0.40 € el tercero y así sucesivamente, multiplicando por dos en cada paso.
Las progresiones geométricas crecen rápidamente, y podemos calcular lo que se gana el día quince usando las potencias de dos.
El día quince ganamos: 0.10 · 214 = 0.10 · 16384 = 1638.40€
Para calcular el total de lo que se gana se puede hacer la suma:
0.10 + 0.20 + 0.40 + ... + 1638.40
Pero es más fácil aplicar la fórmula de la progresión geométrica:
(1638.40 · 2 0.10) / (2 1) = 3276.70
Con el segundo negocio ganamos 3276.70 euros. Por tanto, es más interesante el segundo negocio que el primero, a pesar de que las ganancias de los primeros días son más pequeñas.

Este problema es un ejemplo clásico del diferente comportamiento de una progresión aritmética y una progresión geométrica. En una progresión aritmética el crecimiento es constante, pero en la geométrica, el crecimiento va aumentando de forma muy rápida, por lo que, aunque empiece con desventaja, la progresión geométrica no tarda en superar a la aritmética y dejarla muy atrás.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro de Miquel Capó Dolz: El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1.

26.4.15

[El Problema de la Semana] Las zanahorias

El problema de hoy va de un conejo afortunado:

Un conejo tiene un número de zanahorias en su jaula. Cada día se come un cuarto de las zanahorias que le quedan. Después de cuatro días se ha comido 350 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias había al comienzo?

La solución, bajo los pies del conejo.


SOLUCIÓN:
Este problema se puede resolver razonando con fracciones:
El primer día se come 1/4 de zanahorias, luego quedan 3/4.
El segundo día se come 1/4 de las que le quedan, que son 3/4. 1/4 de 3/4 es igual a 3/16, y le quedan 3/4 – 3/16 = 9/16.
El tercer día se come 1/4 de 9/16, que son 9/64, y le quedan 9/16 – 9/64 = 27/64.
El cuarto día se come 1/4 de 27/64, que son 27/256, y le quedan 27/64 – 27/256 = 81/256.
En los cuatro días se ha comido 1/4 + 3/16 + 9/64 + 27/256 = 175/256.
Las 350 zanahorias que se ha comido son los 175/256 del total, luego el total es 350 · 256 / 175 = 512.
En la jaula había un total de 512 zanahorias.

Este problema también se puede resolver con una ecuación, llamándole x a la cantidad inicial de zanahorias. Pero el planteamiento de la ecuación es muy similar al proceso que hemos hecho.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, Penguin Books.

19.4.15

[El Problema de la Semana] Venta de coches

Veamos qué problema tenemos en esta semana de primavera:

El beneficio de un vendedor de coches ha sido de 21.000 euros, después de haber vendido un cierto número de coches, todos al mismo precio. Si hubiera vendido un coche más y recibido 100 euros menos por cada coche, habría obtenido el mismo beneficio. ¿Cuántos coches se vendieron, y cuál fue el precio de cada uno?

Lo solucionamos después de la ilustración.


[En la imagen tenemos un coche MAZDA 3, cuyo dueño, un ingeniero como se aprecia en la matrícula, le ha añadido los primeros 39 decimales del número pi. Los dos últimos decimales están en orden inverso: no deben ser 79 sino 97. ¿Será un error de colocación o una alteración intencionada para que los que quieran comprobarlo?]

SOLUCIÓN: la forma más directa de solucionarlo es plantear un sistema de ecuaciones.

Podemos darle nombres a las incógnitas:
x: el número de coches vendidos
y: el beneficio obtenido por cada coche

Está claro que la primera ecuación sale del beneficio total:
x · y = 21000

También está claro que la segunda ecuación sale de "vender un coche más", x+1, y recibir 100 euros menos por cada coche, y–100.
(x + 1) · (y – 100) = 21000

Desarrollando esta última ecuación tenemos:

x·y – 100x + y – 100 = 21000

Teniendo en cuenta que de la primera ecuación sabemos que x·y es igual a 21000:

21000 – 100x + y – 100 = 21000
– 100x + y – 100 = 0
 y = 100x + 100 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

x · (100x + 100) = 21000
100x2 + 100x – 21000 = 0

Simplificamos dividiendo por 100:

x2 + x – 210 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado, obteniendo dos soluciones: 14 y –15. Descartamos el resultado negativo y obtenemos la solución final: x = 14, y = 1500.

Se vendieron 14 coches y el beneficio obtenido por cada uno fue de 1500 euros.


Nota: el problema de hoy ha sido adaptado del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, Penguin Books.

10.3.15

[El Problema de la Semana] La heladera

Traemos un problema que anticipa ya el calor de la primavera y el verano.

Miriam tarda 4 minutos y 17 segundos en preparar un helado. Trabajando al mismo ritmo, ¿cuánto necesitaría para completar su encargo diario de 60 helados?

La solución no parece difícil, pero tiene algún aspecto curioso.

 [Los helados se prestan a ser elaborados en diferentes formas geométricas: esferas, cilindros, conos, ortoedros, espirales, etc. Desgraciadamente la forma se pierde cuando se derriten... o se consumen. La fotografía está tomada de esta página]
SOLUCIÓN:
Basta multiplicar 4 minutos y 17 segundos por 60.
4 · 60 = 240 minutos
17 · 60 = 1020  segundos

Perro 240 minutos son 4 horas, y 1020 segundos son 17 minutos, luego Miriam tarda 4 horas y 17 minutos en preparar 60 helados. ¿Vemos la relación de este tiempo con lo que tarda en preparar un helado?

Las horas, minutos y segundos emplean el sistema sexagesimal (se cuenta de 60 en 60). Para pasar de horas a minutos hay que multiplicar por 60, y lo mismo para pasar de minutos a segundos.

La cuenta que hemos hecho antes nos la podríamos haber ahorrado. 60 minutos es una hora, luego 60 veces 4 minutos son 4 horas. 60 segundos es un minuto, luego 60 veces 17 segundos son 17 minutos.
Supongamos que Miriam tiene una compañera nueva en la heladería, Susana, y esta, como es principiante, tarda 8 minutos y 39 segundos en preparar cada helado. ¿Cuánto tardaría en preparar 60 helados? Muy fácil: 8 horas y 39 minutos.
Miriam tiene otro compañero, Julián, que es muy hábil preparando helados. Para prepara 60 helados sólo ha tardado 1 hora y 42 minutos. ¿Cuánto tarda de media en preparar un helado? Muy sencillo: 1 minuto y 42 segundos.

Siempre que sea 60 el número por el que hay que multiplicar o dividir, el paso entre horas, minutos y segundos es inmediato.

[Nota: este problema ha sido extraído del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, Penguin Books.]

4.3.15

[El Problema de la Semana] El corredor extraterrestre

Durante las dos últimas semanas, nuestro compañero matenavegante Pablo Viedma nos ha dado varias explicaciones sobre el puzle Las Torres de Hanoi y su trasfondo matemático. También nos ha traído el enunciado del problema que esta semana proponemos:

Imagina un ser (extraterrestre) que emprende una carrera, y que en cada paso emplea un segundo de tiempo, pero el primer paso es de 1 metro de longitud, el segundo de 2 metros, el tercero de 4 metros, y así sucesivamente, tardando un segundo en cada paso y doblando en cada paso la longitud del paso anterior.
¿Será capaz de superar a Usain Bolt que corrió 100 metros en 9,56 segundos? ¿Y cuánto tardará en hacer la distancia de Granada a Madrid, que es aproximadamente de 420 kilómetros? 

La solución viene debajo de la foto de Usain.


[la imagen ha sido tomada de una web de la Universidad de Cambridge dedicada a las Matemáticas y el Deporte]

SOLUCIÓN:

En el primer segundo el corredor ha dado un paso de 1 metro. Cuando han pasado dos segundos, el corredor ha avanzado 1 + 2 = 3 metros. Cuando han pasado tres segundos, el corredor lleva 1 + 2 + 4 = 7 metros. Se trata de ir sumando potencias de 2. Si seguimos sumando nos damos cuenta de que cuando han pasado siete segundos ha avanzado

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 metros,

luego en menos de 7 segundos ha superado la marca de los 100 metros. Por tanto sí es más rápido que Usain Bolt

Para averiguar el tiempo que el corredor extraterrestre tarda en cubrir la distancia de Granada a Madrid podemos seguir con el mismo método de ir sumando distancias dobles hasta sobrepasar los 420 km = 420.000 metros. Como es una progresión geométrica, los números crecen rápidamente y no hay que esperar demasiado para alcanzar esa distancia. Pero vamos a buscar una fórmula que nos simplifique el trabajo.

Lo que estamos haciendo es sumar una progresión geométrica de razón 2. Entonces podemos ver (porque conocemos la fórmula de la suma de una progresión geométrica o porque simplemente nos hemos dado cuenta) que sumando n términos el resultado es igual a 2 elevado a n menos 1:

1 = 21 – 1
1 + 2 = 3 = 22 – 1
1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1
...
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 = 27 – 1

Según esto, basta ir probando con las potencias de 2 y nos damos cuenta que 
219 = 524.288, y por tanto después de 19 pasos el corredor extraterrestre habrá recorrido:
219 – 1 = 524.287 metros

Luego la respuesta es que tardará menos de 19 segundos en hacer la distancia de Granada a Madrid

AMPLIACIÓN:

Si nos metemos en un nivel matemático más superior y pensamos también en términos de física, a este problema todavía se le puede sacar bastante jugo. Pero para eso debemos abandonar la superficie del planeta Tierra. Y entonces tiene todavía más sentido que al corredor le hayamos calificado de extraterrestre.

Hay varias cosas que llaman la atención. La primera es evidente: al tratarse de una progresión geométrica, la distancia avanzada aumenta enormemente en muy pocos pasos. Al corredor le bastan 7 pasos para sobrepasar los 100 metros, pero con 12 pasos más ya ha recorrido más de 500 kilómetros. 

Pero si nos fijamos en la velocidad implicada, entonces la situación empieza a tomar mayor interés. Si con 7 segundos avanza más de 100 metros, su velocidad, aunque mayor que la de ningún corredor humano hasta la fecha, no es equiparable todavía a la de un coche: cuando en la autopista alcanzamos 120 kilómetros por hora entonces se tardan 3 segundos en recorrer 100 metros.

Pero esa velocidad aumenta rápidamente. Para llegar a Madrid en menos de 19 segundos entonces estamos hablando de que el corredor ya está avanzando a velocidades superiores a 20 kilómetros por segundo. Esta velocidad es superior a la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Al corredor le resultaría ya imposible, corriendo a esta velocidad, dar los pasos sobre la superficie terrestre, porque estaría volando. En cuanto superase la velocidad de escape terrestre (11,2 km/s) la fuerza de gravedad no sería suficiente para que el corredor regresara a la Tierra a dar el siguiente paso.

Ya que estamos hablando de velocidades, podemos utilizar expresiones más avanzadas para calcular las velocidades con exactitud. Por lo que hemos visto más arriba, el espacio recorrido se puede calcular en función del tiempo con la siguiente fórmula:

s = 2t – 1

Donde s sería el espacio en metros, y t el tiempo en segundos. Los que conozcan un poco de física cinemática saben que la velocidad es "la derivada del espacio respecto al tiempo", y entonces derivando la fórmula anterior:

v = ds/dt = 2t · ln2

La velocidad viene expresada en metros por segundo. En la fórmula aparece ln2 que es el "logaritmo neperiano de 2", ln2 = 0,693147181. Podemos calcular cuándo el corredor alcanza la velocidad de escape terrestre, de 11,2 km/s = 11.200 metros por segundo, sustituyendo la velocidad en la fórmula y despejando el tiempo:

11.200 = 2t · ln2
2t = 11.200 / ln2 
 
t = log2(11.200 / ln2) = 13,979977485 segundos

El corredor extraterrestre supera la velocidad de escape de la Tierra a los 14 segundos aproximadamente, y ya no puede dar más pasos, porque su cuerpo ya está separándose de la superficie terrestre y entrando en órbita.

Puede ser un debate interesante decidir si el paso número 14 lo da o no lo da porque ya se haya separado lo suficiente de la superficie. Para ello tendríamos que entrar en ecuaciones físicas más complicadas, en las que se defina un vector de posición de dos coordenadas en función del tiempo, y luego se compare con la curvatura de la superficie de la Tierra. Puede ser un problema interesante de física, pero no vamos a profundizar en ello.

También podemos calcular otros hitos importantes: la barrera del sonido se alcanza a los 1234,8 km/h, es decir, a los 343 metros por segundo. Si averiguamos el tiempo:

343 = 2t · ln2
2t = 343 / ln2 
 
t = log2(343 / ln2) = 8,950831139 segundos

A los 8,95 segundos se produce el boom sónico, y el corredor supera la barrera del sonido.

Pero también tenemos la velocidad de la luz, de 300.000 kilómetros por segundo, o más exactamente de 299.792.458 metros por segundo, y si averiguamos el tiempo

299.792.458 = 2t · ln2
2t = 299.792.458 / ln2 
 
t = log2(299.792.458 / ln2) = 28,688155221 segundos

Poco después de los 28 segundos, nuestro extraterrestre alcanzaría la velocidad de la luz; ya no se le puede llamar corredor, porque desde el paso 14 abandonó la superficie de la Tierra, podemos llamarlo volador, porque estaría probablemente atravesando el espacio. Si hay coches que aceleran de 0 a 100 km/h en menos de 3 segundos, nuestro volador extraterrestre acelera de 0 a la velocidad de la luz en menos de 29 segundos. Según la física relativista, ya no puede aumentar más su velocidad y habría alcanzado el límite absoluto. 

¿Cuánto habrá recorrido en esos casi 29 segundos? s = 228,688155221 – 1 = 432.509.091 metros, más de 432.500 kilómetros; como la Luna está a 384.400 kilómetros de la Tierra, nuestro volador extraterrestre estará más allá de la órbita de la Luna.


25.2.15

Si usted encarga menos, nosotros le cobramos más


Cuaderno de bitácora: el otro día fuimos a encargar unas fotos y nos volvió a suceder una experiencia sencilla pero económicamente desconcertante, al comprobar que en ciertos casos, por menos fotos hay que pagar más dinero.

La tienda de fotos tenía una serie de tarifas para las copias. No recuerdo exactamente los precios, pero para hacernos una idea, aunque no coincidan con la realidad, vamos a suponer que los precios son los siguientes:

- de 1 a 9 fotos, 35 céntimos cada foto
- de 10 a 99 fotos, 28 céntimos cada foto
- más de 100, 26 céntimos cada foto.

Este tipo de ofertas es bastante corriente, y cuando uno de nosotros las aprovecha, hay que tener en cuenta los "saltos" que se dan entre un tramo de precios y el siguiente.

Así, por ejemplo, si revelamos 9 fotos, tendremos que pagar 9 · 0,35 = 3,15 euros, y si son 8 fotos, entonces tenemos que pagar 8 · 0,35 = 2,80 euros. Pero si revelamos 10 fotos, entonces serán 10 · 0,28 = 2,80 euros, porque ya estamos en otro tramo de precios, luego encargar 8 ó 9 fotos no merece la pena: o encargamos 7 o directamente pasamos ya a 10, porque nos va a costar lo mismo o incluso más barato.

Lo mismo ocurre con el siguiente tramo: si encargamos 99 fotos, entonces 99 · 0,28 = 27,72 euros, mientras que 100 fotos nos cuestan 100 · 0,26 = 26 euros. Realmente basta comparar 26/0,28 = 92,8571429 y nos damos cuenta que a partir de 93 fotos, al multiplicar por 0,28 nos sale ya superior a 26 euros, luego podemos encargar 92 fotos, pero si queremos más ya nos interesa pedir 100 directamente y nos saldrá más barato que encargar 93, 94, etc.

En relación a esto, recientemente salió publicado un artículo en el periódico Ideal con una recopilación de ofertas y rebajas extrañas, de cantidades mínimas, algunas con rebajas del 0% o incluso otras en las que la oferta es directamente más cara que el producto normal. Abajo incluimos algunas de las fotos.