29.9.06

El Número Máximo

Hablando del infinito, uno de mis grumetes me preguntó si el infinito era un número. 
Yo le contesté que no, que el infinito era solo una expresión, con la que queremos decir que algo se extiende sin terminar nunca, y que eso es lo que pasa con los números. Podemos imaginarnos los números colocados en una línea que se alarga hacia el horizonte, sobre el Océano de las Matemáticas, para siempre: eso es el infinito. Esa línea nunca termina; si tú me dices un número muy alto, yo te puedo decir otro más grande todavía, y si yo te digo el número más grande que se me ocurra, tú puedes decirme otro todavía más grande.
[esta ilustración está tomada de la página de Tim Tomkinson]

Con nuestro sistema decimal es sencillo escribir números muy grandes. Además disponemos de la notación científica, es decir, de las potencias de 10, para comprimir el aspecto de los números muy, muy, muy grandes, como el gúgol = 10100, o como el gúgolplex = 10gúgol. Incluso aunque alguien diga un número muy grande y nosotros no sepamos dar una expresión decimal de un número más grande todavía, podemos simplemente contestar con “el siguiente de ese número”. Un número más grande que el gúgolplex puede ser el siguiente del gúgolplex, o gúgolplex + 1, y luego otro más grande puede ser gúgolplex + 2, etc. (Para saber algo más sobre el gúgol y el gúgolplex, leer mi otra entrada Si yo tuviera un gúgol de euros)
El grumete me dijo que no debería ser así, que eso no le gustaba, que debería haber un número máximo en el que se acabara todo. Yo le comenté que si era así, ¿cuál podríamos elegir? Y entonces se me ocurrió imaginar a alguien que pusiera en su país un número máximo por ley y que no se pudiera pasar de ese número. 
"Supongamos que en la isla de Cuba Imaginaria, Fidel Castro Imaginario decide imponer una ley: el número máximo de todos los números será el 200, y no se podrá pasar de él" 
En matemáticas se pueden definir las reglas de juego que uno quiera, luego, basándonos en esas reglas puede salir una teoría matemática interesante o no. 
¿Qué puede suceder si el número máximo es el 200? ¿Cómo sorteamos las situaciones que aparecen como consecuencia de tal decisión? Cuando estamos contando cosas y algo supera a 200, ¿qué se hace con el resto? 
Dicen que en algunas tribus primitivas que no sabían contar, las cantidades se resumían así: uno, dos, tres y muchos. 
También dicen que cuando miramos un grupo de cosas, sólo podemos distinguir grupos de uno, dos, tres o cuatro cosas. Si son más de cuatro, nuestro cerebro no puede distinguir a simple vista la cantidad, necesitamos contarlas. Un conjunto que tenga siete u ocho elementos, si no los contamos, no somos capaces de decir cuántos había, salvo por encima, haciendo una estimación. Cuando el conjunto tiene cuatro o menos elementos, somos capaces de asegurar los elementos que tenía sin necesidad de contarlos, nos basta un golpe de vista. Si el conjunto tiene más nos vemos en la necesidad de contarlos uno a uno o subdividir el conjunto en subconjuntos de no más de cuatro elementos.
En nuestra imaginaria isla de Cuba, se ha logrado llegar hasta 200, pero ahí se han quedado. Un artículo que vale 300 dólares, en esta isla vale más de 200 dólares, y por tanto, muchos dólares, infinitos dólares, una cantidad inalcanzable, da igual que valga 300 ó 3.000, ó 30.000. A partir de 200 todo es lo mismo. 
Igualmente pasaría si Fidel Castro Imaginario da un discurso frente a una multitud de personas: si pasan de 200 personas, la multitud es infinita, da lo mismo que hayan sido 201 ó 2.000 ó 10.000 ó 500.000. Son incontables. Lo cual, en este caso es beneficioso para la propaganda del régimen. Así podría decir la crónica de un periódico sin faltar a la verdad: “una multitud incontable [en realidad unas doscientas cincuenta personas] acudió al discurso de Fidel Castro Imaginario, y lo premió con infinitos aplausos [un aplauso por cada una de las trescientas frases del discurso]”. 
De la misma manera, la producción industrial de nuestra isla serían innumerable, siempre que las cantidades de productos pasaran de 200, toda la historia de Cuba Imaginaria de hace más de 200 años quedaría en la prehistoria al no poder hacer una cronología más extensa, y si el régimen castrista imaginario pudiera perpetuarse por más de 200 años, entonces llevaría en el poder infinitos años. Bajo este punto de vista, tendría muchas ventajas para dicho régimen poder poner la barrera del infinito en el 200 y que éste fuera el último número. 
Quiero comentar también que la respuesta que le di al grumete de que el infinito no es un número, sino una expresión, es cierta, pero está incompleta. En ciertas partes de las matemáticas se admite al infinito como una especie de número, con sus peculiares propiedades para la suma, la resta, la multiplicación y la división. En esa parte de las matemáticas tienen sentido expresiones como, por ejemplo. Si no recuerdo mal, esa parte de las matemáticas es llamada Teoría de la Medida. Es una rama muy avanzada y especializada, pero los matenavegantes que viajan por ella descubren un mundo abstracto muy sólido, en el que se apoyan con seguridad para después atravesar los mares del Análisis Matemático hasta sus más remotos confines.
Nota: este artículo ha sido ampliado y actualizado en febrero de 2010.

28.9.06

Primer Día en el Barco Escuela

Empieza el nuevo curso y ya estamos de nuevo en nuestro Barco Escuela, dando lecciones a los grumetes.
El primer problema que les planteé para que lo resolvieran estaba inspirado en uno de mis países favoritos: El País de los Mayas, en la península del Yucatán:

Los Mayas tenían un calendario diferente al nuestro. Cada 20 días era un mes, 18 meses era un año, 20 años era un siglo, 20 siglos era un milenio, 13 milenios era lo que se llamaba un Ciclo Largo Maya.
¿Cuántos días en total dura un Ciclo Largo?
Busca la duración exacta del año terrestre y calcula a cuantos años equivale un Ciclo Largo.
Si el Ciclo Largo comenzó el 13 de Agosto de 3113 a. de C., ¿Cuándo terminará? 


Hasta aquí el problema. En realidad a cada periodo le di nombres similares a los que usamos nosotros, pero tienen sus nombres mayas:
La unidad del Calendario era el día o kin; 20 kines hacían un uinal o mes, 18 uinales hacen un tun (año), 20 tunes un katun (20 años mayas o 7200 días), y 20 katunes un baktun (400 años mayas o 144.000 días).
Con esto tenemos que el Ciclo Largo Maya estaba formado por 13 baktunes, es decir, 5200 años mayas de 360 días cada uno.
Las respuestas al problema son:
Multiplicando 20 · 18 · 20 · 20 · 13 = 1.872.000 días es un Ciclo Largo.
Buscamos por ejemplo en la Enciclopedia Encarta la duración exacta del año y encontramos: 365,2422454 días.
Dividimos 1.872.000 entre 365,2422454 y nos da 5125,3654898 años, es decir 5125 años y una fracción.
Si esa fracción, 0,3654898 la multiplicamos por 365,2422454 para convertirlo a días, nos da 133,49. Luego redondeando, un Ciclo Largo Maya son 5125 años y 133 días.
Ahora nos falta sumar esta cantidad al 13 de Agosto de 3113 a. de C.
Teniendo en cuenta que es un año anterior a Cristo, hay que hacer la operación
-3113 + 5125 = 2012. Luego hay que sumar al 13 de Agosto 133 días, teniendo en cuenta que el mismo 13 de Agosto ya cuenta como el primer día, y obtenemos el 23 de Diciembre.
El Ciclo Largo Maya finaliza, por lo tanto el 23 de Diciembre de 2012.

Los mayas desarrollaron un sistema numérico muy avanzado. Conocían el número cero, y colocaban los números en una notación posicional parecida a la que tenemos hoy en día, lo cual les permitía hacer cálculos con muchas cifras. Gracias a ello supieron medir la duración del año terrestre con una exactitud que no se ha igualado hasta el siglo XX, y realizaron todo tipo de mediciones astronómicas.


Arriba podemos ver una ilustración con los símbolos que usaban los mayas para los números desde el cero hasta el 19. El símbolo del cero representa la concha o caparazón de un pequeño caracol marino, y hay diversas variantes en su dibujo. El sistema de numeración tenía base 20, luego para el número 20, en lugar de poner cuatro rayas horizontales, se dibujaba un punto en una posición más elevada y el cero debajo. Incluimos otra ilustración con más ejemplos: