25.11.06

Espacios Vectoriales

Junto al libro Problemas de Concurso, encontré otro que en ese momento me pareció interesante. Su título era Álgebra Lineal y Teoría de Matrices, y había sido escrito por las profesoras Rosa Barbolla y Paloma Sanz.
Se dieron varias circunstancias para que me decidiera a comprarlo: su edición, hecha por Prentice Hall, tenía muy buena calidad. Su estado de conservación era óptimo, o por decirlo de otra manera, el libro estaba nuevo. El tema que trataba me interesó, pues el Álgebra Lineal siempre se me ha dado muy bien; además, era un tratado extenso que abarcaba hasta las Formas Canónicas de Jordan, una parte intrincada de la Teoría de Matrices que me interesaba recordar. Y el precio me pareció muy interesante: tan sólo cinco euros.

El libro está dirigido a los estudiantes de económicas y empresariales, pero en su interior es matemática pura. Estoy empezando a leerlo, repasando los polvorientos conceptos que yacen semiocultos en mi memoria, y una de las primeras cosas que me encuentro es una encantadora definición:

Es habitual representar un vector por una "flecha", que queda determinada por su dirección y longitud... Por tanto, intuitivamente, un vector puede identificarse en general con un segmento de recta orientado.

Esta frase tuvo el mágico poder de trasladarme instantáneamente al pasado, hace veintitrés o veinticuatro años, cuando empecé a estudiar los vectores. Mucho antes de saber qué eran los Espacios Vectoriales, mucho antes de explorar mundos incomprensibles del Álgebra más abstracta, en un libro de texto de 7º de E.G.B. sobre Física, con pequeñas fotos explicativas donde se veían muelles tensos, conocí el concepto de vector. ¡Cuántos recuerdos!...

Ahora observo nuestro barco, sus obenques estirados, sus velas hinchadas por el viento, la estela que deja tras la popa, y me veo rodeado de vectores, surcando inmensos espacios, espacios abiertos salpicados de espuma de mar, azules espacios vectoriales...

16.11.06

Problemas de Concurso 2

El libro del que estuve hablando ayer tiene una introducción muy interesante escrita por los editores L. Bers y J. H. Hlavaty, de la que a continuación voy a hacer un extracto:

Los problemas matemáticos son más antiguos que las matemáticas; enunciados como rompecabezas se encuentran en los registros escritos más arcaicos, como los papiros egipcios de hace 4000 años. En la India, por ejemplo, los problemas eran registrados en lenguaje poético. La gloria de elevar las matemáticas del plano de resolver problemas a la ciencia que es hoy, se le debe a los griegos; pero a pesar de esto los matemáticos griegos no despreciaron el arte de resolver problemas. Tres de sus grandes problemas geométricos fueron un desafío para los matemáticos hasta el siglo XIX: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, empleando solamente regla y compás. A pesar de los fracasos durante siglos para hallarle solución a estos problemas, los esfuerzos continuaron hasta que se logró demostrarlos con la ayuda de teoremas algebraicos y se concluyó que, en cada caso, la construcción era imposible con los citados instrumentos.
Tales problemas han estimulado el desarrollo de las matemáticas y han conducido a los matemáticos a inventar nuevos métodos y a crear nuevos conceptos. A un nivel más modesto, pero igualmente importante, dichos problemas han constituido un excelente campo de entrenamiento para los matemáticos jóvenes.
La resolución de problemas nunca fue un campo del dominio exclusivo de los matemáticos En todos los tiempos han sido un estímulo intelectual y de diversión para muchos profesionales de otros campos. Durante el Renacimiento, en Italia la solución de problemas se convirtió en un deporte de competencias y entre los matemáticos no era raro hacerlas públicas. Algunas veces este espíritu los condujo a excesos. Por ejemplo, en el siglo XVI, Tartaglia, ganador de una de esas competencias, tuvo que escapar de un pueblo para no ser víctima de la violencia de los entusiastas del campeón local.
El objetivo de esta competencia particular era la solución de las ecuaciones cúbicas y al prepararse para ellas, Tartaglia descubrió las importantes fórmulas para su solución. Aún hoy, los matemáticos compiten en la resolución de problemas en forma menos pública, con menos agresividad, pero quizás con la misma intensidad.
El final del siglo XIX vio el comienzo de la organización de competiciones entre los estudiantes de las escuelas secundarias. En Hungría, las llamadas competiciones de Eötvös (iniciadas en 1894) son muy famosas; probablemente han jugado un papel básico en la formación de tantos matemáticos y físicos eminentes de este pequeño país. En la Unión Soviética los estudiantes de la Escuela Secundaria toman parte en un sistema de "olimpiadas" patrocinadas por la universidad.
En los Estados Unidos, la tradición de competiciones periódicas entre los estudiantes de matemáticas tiene aproximadamente 50 años.
Téngase en cuenta que el texto anterior fue escrito en 1960 para entender la alusión a la Unión Soviética y ubicar la fecha cuando dice que la tradición en Estados Unidos tiene 50 años.
Para saber un poco más de las Olimpiadas Matemáticas en España y el resto del mundo, se puede visitar este enlace: http://platea.pntic.mec.es/csanchez/olimpque.htm
(PD: el Diccionario de la Real Academia admite olimpiada y olimpíada, pero esta última forma, con acento, no me suena bien, aunque algunos se empeñen en escribirla así).

15.11.06

Problemas de Concurso

La semana pasada tocamos puerto y pudimos pasar algún tiempo en tierra firme. Aprovechamos para visitar un mercado de libros antiguos, y encontré un par de ejemplares interesantes a muy buen precio. Hoy me gustaría hablar sobre el más antiguo de los dos, una pequeña joya que tan sólo me costó 2.70 euros.

Su título, como puede apreciarse en la imagen es PROBLEMAS DE CONCURSO, y debajo aparece un subtítulo: Problemas de los Concursos Anuales para Estudiantes de Secundaria presentados por la Asociación Americana de Matemáticas. Los problemas están compilados y con las soluciones explicadas por Charles T. Salkind, y traducido por Álvaro Pinzón E., Matemático de la Universidad Nacional de Colombia. La edición original es responsabilidad de Random House, Nueva York y esta edición en español es de la Editorial Norma en Colombia.

La portada está amarillenta y tiene motivos para ello. El libro fue publicado en 1961, antes de que se llegara a la Luna. Estamos hablando, pues, de un título que ha cumplido 45 años. Recopila los problemas de los Concursos Anuales desde el año 1950 hasta el 1960, ambos inclusive. Estos Concursos son una especie de Olimpiada Matemática para los estudiantes de Secundaria que se empezaron a realizar en Estados Unidos precisamente en el año 1950, organizados por la Mathematical Association of America, MAA, de la que se puede visitar la página web. También hay otra página, un poco laberíntica en su diseño, que trata sobre las competiciones anuales americanas en general.

Me llama mucho la atención este libro; es un volumen pequeño, fino, poco valorado, pero su antigüedad, su rareza, su viaje a través del tiempo y del espacio, su puerta hacia otro mundo desconocido dentro de la Matenavegación, le dan mucho valor para mí. Los problemas que trata son de diversos tipos: proporciones, ecuaciones de primer y segundo grado, porcentajes, raíces, geometría, progresiones... Hay un ejercicio en una de sus primeras páginas que me resultó sorprendente por lo corto de su enunciado y lo sencillo que parece:

Si el radio de un círculo se aumenta en 100%, el área se aumenta en: a) 100%; b) 200%; c) 300%; d) 400%; e) ninguna de estas respuestas.

Aunque a primera vista pueda parecer extraño, la respuesta correcta es la c). Es sencillo dar una explicación.

8.11.06

Sueños Delirantes

Cuaderno de bitácora: Uno de nuestros matemarineros cayó enfermo hace seis días y está sufriendo de fiebres muy altas. Durante la noche y por la mañana parece dormir plácidamente, pero en la tarde entra en delirios y se queja y se revuelve en su cama. Más tarde, y tras la continua aplicación de paños húmedos y fríos sobre la frente, se despierta y recupera el sentido, y ha tenido a bien contarme los sueños que tiene para así liberarse de ellos.
El que más se le repite, una y otra vez, durante las últimas horas, es una ensoñación en la que se ve trepando por el palo mayor, desplegando las velas para que el viento sople con fuerza sobre ellas. No me extraña que sus delirios giren en torno a las velas del palo mayor, pues ha sido su responsabilidad en los dos últimos meses. El muchacho trepa y recoge la Vela Mayor, después sigue trepando y recoge la siguiente, la Gavia, luego el Juanete Mayor, pero encima hay más velas, un Sobrejuanete, un Sosobrejuanete, un Sososobrejuanete, y así continúan y continúan. Cuando mira hacia arriba para ver donde terminan, puede contemplar una nube oscura y baja en la que se pierde el Palo Mayor y que no le permite vislumbrar el extremo.
Ante la angustia de estos sueños, el matemarinero me ha preguntado si será capaz de llegar al final del Palo. Está seguro que hay un número infinito de Sososo...sobrejuanetes, cada uno más pequeño que el anterior, pero no sabe si la longitud del mástil es finita o infinita. Yo le he contestado que trate de medir las velas, comparándolas entre sí, la próxima vez que tenga el delirio, y que intentaré darle una respuesta.
Después del acceso de fiebre de la última tarde, me ha explicado que la Vela Mayor mide lo mismo que la nuestra, que la Gavia mide la mitad de la Mayor, el Juanete mide un tercio de la Mayor, el Sobrejuanete un cuarto de la Mayor, el Sosobrejuanete un quinto de la Mayor, y así sucesivamente. Al escuchar esto no he podido menos que decirle, con gran disgusto, que si las velas siguen esa progresión entonces el Palo Mayor de sus delirios no tiene límite, se extiende hacia el cielo de forma infinita. El muchacho ha puesto una expresión de desesperación y no ha querido escuchar el argumento que demuestra que la sucesión se hace infinita.
Después de esta conversación, y a pesar de todo, la fiebre le ha disminuido un tanto. Ha pasado una noche más tranquila, y se ha despertado con mejor aspecto en su rostro. Me ha contado que ha vuelto ha tener el mismo sueño, pero ahora la Gavia medía tres cuartos de la Vela Mayor, el Juanete medía tres cuartos de la Gavia, el Sobrejuanete tres cuartos del Juanete y así sucesivamente. Yo le he confirmado, con una sonrisa, que está mejorando de su postración, y que ahora la sucesión sí termina, y el Palo Mayor, aunque siga oculto entre las nubes, tiene un final, e incluso es sencillo calcular su longitud. Pero tampoco ha querido oír la demostración. Con un suspiro de alivio se ha envuelto entre las sábanas y ha seguido durmiendo.

7.11.06

Mesas de Piratas

Conversando sobre cuestiones de cómo sentarse a la mesa, uno de mis matenavegantes me contó una pequeña anécdota sobre los piratas y sus manías.
En la isla de la Tortuga era frecuente que se reunieran los piratas después de cometer sus fechorías, para beber ron y contarse sus aventuras. En verano, sobre todo en los meses de agosto y septiembre, las salidas de los piratas decrecía, debido a la presencia de huracanes en el Caribe que impedían la navegación. Aprovechando la inactividad, nueve capitanes piratas decidieron juntarse cada 18 de septiembre en la taberna La Pata Coja para cenar juntos. Por alguna razón misteriosa, aquellos capitanes deseaban cenar de una forma civilizada, tratarse con educación y sentirse por una noche personas normales.
El primer 18 de septiembre que se reunieron las condiciones eran idóneas. En el piso de arriba de la taberna había un reservado, y en él una mesa circular. Para evitar problemas y contradecir el nombre del local, la mesa sólo tenía tres patas. Cuando los piratas llegaron y se fueron acomodando alrededor de la mesa todo prometía que aquella iba a ser una velada inolvidable. Pero por mucho que lo intentaran, los piratas no podían dejar de lado sus malas inclinaciones, y antes de que se sentaran todos, el capitán Barba Cobriza empezó a quejarse del sitio que le había tocado en la mesa, si le llegaba más o menos luz procedente del candil, si sus compañeros inmediatos eran comensales agradables o no, si la tabernera le serviría a él antes que a los demás, etc. La discusión se extendió rápidamente entre todos los capitanes, y pronto las palabras dieron paso a los gritos y a los insultos, y varios empezaron a echar mano de los sables y las pistolas. Sonó un disparo que hizo retumbar toda la casa con un terrible estruendo, y una nube de humo se extendió por la habitación.
Cuando el humo se disipó, todos vieron que el que había disparado era Flan Haragán, el pirata más duro y más experimentado de todos ellos. En realidad había apuntado al techo, pues su intención era parar la discusión y obtener unos momentos de silencio, y evidentemente lo había conseguido. Se guardó la pistola en su faja, miró a todos con expresión adusta y dijo:
-¡Ya está bien! Sentémonos tal como estamos ahora y, para que nadie se queje, cada 18 de septiembre iremos cambiando de lugar hasta agotar todas las combinaciones posibles.
Se oyeron leves murmullos y gruñidos, pero todos los piratas se sentaron y pudieron cenar en paz.
Evidentemente, si Flan Haragán quisiera agotar todas las combinaciones posibles, tendría que probar las maneras de ir permutando los piratas entre todos los asientos. Permutaciones de 9, que se escribe 9! ("9 factorial") dan un total de: 9!=9·8·7·6·5·4·3·2·1=362880 posibilidades diferentes. Si los piratas cenaran juntos todos los días y no sólo el 18 de septiembre, se necesitarían cerca de mil años en cubrir tantas permutaciones.
Otra posibilidad diferente es que se hubiera propuesto "que cada uno se siente en un sitio distinto cada vez". En ese caso bastan 9 cenas para conseguirlo, pues a partir de la cena número 10 cada uno tendría que repetir sitio inevitablemente.

[Este relato está inspirado en el problema número 96 de 100 Problemas Matemáticos, de Germán Bernabeu Soria]