11.11.07

Números astronómicos (1): Una Idea Básica del Cosmos

Cuaderno de bitácora: la otra mañana en el Barco Escuela estuve hablando a los grumetes sobre las distancias en el Universo, la unidad astronómica (UA), el año-luz, etc. Les puse algunos ejemplos sobre la Tierra, el Sol, la Luna, los planetas, la estrella más cercana al Sol, y ellos, aunque en forma un poco desordenada, se interesaron por muchas cosas y me hicieron bastantes preguntas.
Quisiera en esta entrada del blog recordar algunas cosas sueltas interesantes, unas que les dije y otras que no se me ocurrió mencionarles o no me dio tiempo a decir.
A partir de ahora emplearé cifras aproximadas, pues mi pretensión es que el lector se pueda hacer una idea general de lo explicado, no que se pierda en la exactitud de algunos datos. Las cifras exactas se pueden buscar fácilmente en cualquier enciclopedia.
Primero una idea general de dónde nos encontramos. Todos conocemos nuestro pueblo o ciudad, nuestro entorno cercano. Si por ejemplo vivimos en Priego de Córdoba, conocemos sus calles, también el terreno que le rodea, sabemos los pueblos y aldeas cercanos, a qué distancia se encuentra Córdoba o Granada, etc.
También tenemos una idea de la región en la que vivimos, del país, y sabemos que estamos en el planeta Tierra. Pero este conocimiento ya es más teórico, es un conocimiento aprendido por el avance actual de la Geografía y las exploraciones. En la actualidad se conoce con mucho detalle nuestro mundo e incluso se puede fotografiar desde el espacio exterior.
Sin embargo, hace tan sólo quinientos o seiscientos años, la humanidad no sabía decir si vivíamos en una esfera, y la mayoría de la gente pensaba que la Tierra era plana, y el firmamento una bóveda sobre la Tierra, hecha exclusivamente para sostener el cielo de nuestro mundo. Podíamos conocer nuestra región, pero los países lejanos resultaban desconocidos o formaban parte de las leyendas de los viajeros. La Tierra, que hoy nos parece pequeña, representaba en aquellos tiempos un universo gigantesco, desconocido en gran parte, y sobre el Cosmos y las estrellas sólo había mitos y conjeturas, muy lejos de lo que hoy se puede contemplar y conocer.
La Tierra, acompañada de la Luna, gira en el espacio en torno al Sol. También giran en torno a nuestro Sol gran cantidad de otros cuerpos celestes, como los planetas, planetoides, asteroides, cometas, etc. El Sol, junto a todo su acompañamiento, en el que se incluye nuestro planeta Tierra, forma el llamado Sistema Solar.
El Sol, no obstante, es tan solo una más de las estrellas que pueblan el firmamento. Cuando los poetas hablan del cielo nocturno, dicen que está poblado de infinitas estrellas, pero a simple vista, sin ayuda de prismáticos ni telescopios, en una noche oscura lejos de las ciudades, se pueden llegar a ver sólo unas tres mil estrellas. También se puede contemplar una banda o franja que atraviesa el cielo, de una claridad muy tenue: es la galaxia en la que nos encontramos, la Vía Láctea.
Con ayuda de los telescopios se despliega toda la potencia de la observación cósmica. Así descubrimos que nuestra galaxia no es sino un conjunto enorme de estrellas que están muy lejos para ser distinguidas a simple vista unas separadas de otras. Una galaxia como la Vía Láctea a la que pertenecemos, es simplemente eso: un gran conjunto de estrellas y otros cuerpos, girando en espiral en medio del Universo. A simple vista sólo llegamos a ver unas 3.000 de esas estrellas, pero se calcula que nuestra galaxia está formada por 100.000.000.000 (cien mil millones) de estrellas (nótese que esta cifra varía significativamente dependiendo del lugar donde consultemos, hay fuentes de información donde cuentan doscientos mil millones, trescientos mil millones y hasta cuatrocientos mil millones de estrellas). El Sol sólo es una de esas estrellas, acompañado de sus planetas, cometas y asteroides.
Se ignora si todas y cada una de esas cien mil millones de estrellas está acompañada por planetas y demás cuerpos, pero todo parece indicar que en la mayoría de ellas es así. Con técnicas muy avanzadas en observación astronómica se ha llegado a detectar la presencia de planetas en torno a estrellas cercanas. Actualmente (obsérvese la fecha de esta entrada del blog) hay 264 planetas detectados o descubiertos. Hay una web dedicada a estos planetas fuera del Sistema Solar, La Enciclopedia de los Planetas Extrasolares, muy interesante, aunque parte de la web está en inglés.
Hay muchas más estrellas en nuestra galaxia que personas en el mundo. Si repartiéramos las estrellas de la Vía Láctea entre todos los seres humanos del planeta Tierra, cabríamos a más de quince estrellas por persona. Las parejas, en sus cortejos románticos podrían, literalmente y no sólo poéticamente, entregarse el uno al otro estrellas del cielo y otros cuerpos celestes como muestra de amor, sin peligro de que se acaben.
No paramos aquí. Nuestra Vía Láctea, con todos sus cientos de miles de millones de estrellas es tan solo una entre todas las galaxias que existen en el Universo. Con la ayuda del telescopio Hubble se han llegado a calcular que hay por lo menos diez mil millones, 10.000.000.000 de galaxias en el Cosmos.
Multiplicando ambas cifras, tenemos que en el Universo habría por lo menos mil trillones, 1.000.000.000.000.000.000.000 o diez elevado a veintiuno, de estrellas, sin contar planetas, lunas, cometas, asteroides...
El Universo, como decía Carl Sagan a través de la película Contact, es un espacio enorme. Incluso se dice tradicionalmente que el Universo es infinito. En realidad es una cuestión que no está resuelta, y que dudo si algún día lo estará, por mucho que avance la ciencia. Los astrónomos no pueden hacer otra cosa que seguir investigando...
Nosotros conocemos nuestro entorno, nuestro pueblo, nuestra ciudad, tenemos una idea de lo que nos rodea, pero esa idea empieza a difuminarse conforme ampliamos nuestra visión: la Tierra, el Sistema Solar, las estrellas, la galaxia, el Universo...
Es muy hermoso e instructivo detenerse de vez en cuando en reflexionar sobre todas estas cuestiones, y las matemáticas nos pueden ayudar para ampliar nuestra comprensión sobre el Cosmos.
Para terminar la entrada de hoy, quisiera recordar a ese gran científico y divulgador, fallecido en 1996, que nos ha enseñado tanto sobre los misterios del Cosmos, me refiero a Carl Sagan...
También quiero recomendar la descarga del programa Celestia, una magnífica aplicación que representa el Universo en tres dimensiones, en tiempo y espacio real, y que tiene gran cantidad de complementos.

5.11.07

Repartiendo una herencia de camellos

La semana pasada un compañero del Barco Escuela me entregó un folleto que a él le habían dado por la calle. El folleto era una hoja de propaganda de una empresa de coaching, llamada Bitacorach.
Yo no sabía qué era eso del coaching (del inglés coach, entrenador), pero lo interesante del folleto no estaba ahí, sino que utilizaba como reclamo un problema de matemáticas ya clásico, que es el que quiero comentar en esta entrada del blog. Transcribo el problema tal como viene en la hoja:

El testamento del jeque
Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus tres hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino, famoso por su sabiduría, montado en su camello. Le pidieron consejo y éste dijo:
-Si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en vez de once no habría problemas.
-Cierto, pero sólo tenemos once- respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó:
-Tomad mi camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en la operación.
¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?

La respuesta al problema viene en la cara posterior de la hoja, que es como sigue:

SOLUCIÓN
El beduino cede su camello, con lo que habrá doce; el primogénito recibe la mitad (6 camellos), el segundo una cuarta parte (3 camellos) y el tercero la sexta parte (2 camellos). Como 6, 3 y 2 suman 11, el beduino recuperará su camello y todos contentos.

Este es un problema ingenioso que ya me he encontrado en diversos libros de texto allá por los Matemares. Todo parece encajar de forma casi mágica: al principio tenemos 11 camellos, de los cuales no se puede tomar ni la mitad, ni la cuarta ni la sexta parte, luego la última voluntad del jeque no se puede cumplir. Pero luego se le añade un camello, tenemos 12, (12 es divisible entre 2, 4 y 6), ahora sí podemos tomar la mitad, 6, la cuarta parte, 3, y la sexta parte, 2, y una vez entregados los camellos a los hijos, sobra uno, que se le devuelve al beduino que lo puso. Qué bien.

Sin embargo, que yo sepa, nadie se entretiene en contar la segunda parte de la historia.
Después del reparto, aparece el notario para dar fe de que todo se ha hecho según la voluntad del fallecido. Pero al hacer las comprobaciones, resulta que el hijo mayor se ha llevado 6 de los 11 camellos, luego no se ha llevado la mitad, sino más de la mitad. El segundo se ha llevado 3 de los 11 camellos, más de la cuarta parte, y el tercero se ha llevado 2 de los 11, más de la sexta parte.
Es decir, el reparto no se está haciendo conforme a la voluntad del padre, y el notario se niega a aceptar tal reparto de la herencia. Los hijos entonces miran con ojos acusadores al sabio beduino y le exigen una solución para salir del atolladero, y el beduino, lamentándose internamente de haberse entrometido en asuntos tan delicados, le explica al notario:

-Sí, tiene usted razón, los hijos, en realidad, no se están llevando lo estipulado, pero también es cierto que su padre, el jeque, ya de entrada hizo un mal reparto de la herencia.
-¿Qué quiere decir usted con eso? -pregunta el notario.
-Al conceder la mitad, la cuarta parte y la sexta parte, no repartió la herencia completa. Si sumamos 1/2 + 1/4 + 1/6 obtenemos 11/12, es decir, no obtenemos 12/12, la unidad. Estrictamente hablando, el fallecido dejó una parte, 1/12 sin repartir.

-Bueno, eso no es asunto mío. En cualquier caso, si el fallecido deja algo sin legarlo a sus hijos, debe pasar a propiedad del Estado, y será confiscado por la Hacienda Pública.
En eso comenta el hijo mayor:
-Pero el reparto había salido bien añadiendo el camello número 12.
-¿Qué camello?
-Éste de aquí.
-Puede haber una solución -dice el notario-, si este camello que hay aquí forma también parte de la herencia de su padre, entonces serían 12 camellos, 6 serían para el mayor de ustedes, 3 para el segundo hermano, 2 para el tercer hermano, y el camello restante, que el jeque no ha legado a nadie, quedaría en propiedad de la Hacienda Pública.
-¡De acuerdo! -contestan los tres hermanos al unísono.
-¡Nada de eso! -grita en ese momento el beduino-. Este camello es mío, y no es del jeque ni quiero que se lo lleve Hacienda...
Y tras estas intervenciones se inicia una discusión interminable y acalorada entre los tres herederos oportunistas, el estricto notario y el beduino metomentodo, discusión de la que finalmente no parece que vaya a salir nada bueno...
PD: bueno, creo que se nota que la segunda parte de la historia me la he inventado. Nunca me ha convencido del todo el problema del jeque moribundo y sus camellos, y desde que lo descubrí me pareció un enunciado tramposo. Creo, simplemente que la herencia está mal repartida en origen y en final, y considero que el jeque, en lugar de ponerse a jugar con fracciones que claramente no domina, debería haber sido concreto al legar los camellos a cada uno de sus retoños.

4.11.07

La Nanociencia y el Reloj de la Puerta del Sol

Cuaderno de bitácora: esta mañana la navegación por los Matemares me ha llevado hasta un artículo publicado en El País, titulado La veloz carrera de los electrones en un metal, que me ha parecido sumamente interesante. Ya desde el primer momento empieza citando cifras grandes de ésas a las que es difícil seguirles la pista, como:
El radio del universo conocido se fija en unos cuatro millones de trillones de metros y su edad se estima en 400.000 billones de segundos, o un cuatro seguido de 17 ceros...
Más adelante, el artículo habla de la nanociencia, la ciencia de lo muy pequeño, y define el nanómetro, como una mil millonésima de metro (para los matenavegantes, diez elevado a menos nueve metros). Lo que me ha gustado especialmente es el siguiente comentario:
Si en Google redujéramos el mapa de España al tamaño de una cabeza de alfiler, el diámetro del Reloj de la Puerta del Sol mediría un nanómetro
Supongo que cuando dice Google, se refiere en realidad a la magnífica aplicación Google Earth, cuya descarga recomiendo a todos los que todavía no la tengan. En ella aparece una representación fotográfica del planeta Tierra, con un nivel de detalle finísimo, en el que se pueden llegar a contemplar todos los lugares del planeta, montañas, ríos, ciudades, monumentos, y hasta las casas, coches y personas.

Eso de reducir el mapa de España al tamaño de una cabeza de un alfiler me ha parecido una idea muy sugerente. Además, en seguida me he puesto a calcular: la cabeza de un alfiler tiene una anchura aproximada de un milímetro. Si aceptamos que la anchura del mapa de España es de unos mil kilómetros = un millón de metros = mil millones de milímetros, entonces la escala de la reducción ha sido de 1 : 1.000.000.000, de uno a mil millones, luego un nanómetro en la cabeza de alfiler equivale a mil millones de nanómetros en la realidad, es decir, a un metro exacto...

Conclusión: mentalmente, a bote pronto, el diámetro del Reloj de la Puerta del Sol de Madrid ha de tener, según la comparación, un metro de longitud, más o menos...

Reloj de la Puerta del Sol en Madrid.

Curiosamente, después de navegar un rato, no he logrado encontrar ningún sitio donde venga especificado el diámetro real de dicho Reloj, así que no puedo comprobar mi deducción.

Después en el artículo se sigue hablando de las distancias y los tiempos pequeñísimos que se miden en la interacción de los electrones en el metal, en la emisión de pulsaciones láser en los CDs, etc.

Aparecen, por ejemplo, prefijos usados en física, además de nano, como pico, femto y atto, cada uno con un significado matemático concreto: pico es una billonésima (o diez elevado a menos doce), femto una mil billonésima (diez elevado a menos quince) y atto una millonésima de billonésima, o si se puede decir así, una trillonésima (diez elevado a menos dieciocho).

Regresando a lo del mapa de España en la cabeza de un alfiler, y según lo ya comentado, un metro del mundo real equivale a un nanómetro en esa mini España. Teniendo en cuenta que el tamaño de un virus 
oscila entre los 24 nanómetros del virus de la fiebre aftosa a los 300 nanómetros de los poxvirus (extracto de la Wikipedia),
el virus más pequeño, el de 24 nanómetros, si lo introducimos en la mini España de nuestro alfiler, equivaldría a un animal de 24 metros de largo, como una ballena, en nuestra España real, mientras que un virus de 300 nanómetros de longitud no cabría en dos campos de fútbol de la mini España.

¿Y si no hacemos una reducción de tamaño tan drástica? Vamos a tomar el mapa de España y ponerlo en la escala de un atlas, de uno a un millón. Los mil kilómetros de anchura se transforman en un metro. Tenemos nuestra España reducida a un mapa de un metro de ancho, y supongamos que lo colocamos en una mesa, y allí podemos ver las cordilleras, los ríos, la costa, las pequeñas ciudades, etc. Al ser la escala 1 : 1.000.000, un metro se reduce a una millonésima de metro, es decir, a un micrómetro. Una persona en el mundo real puede medir 1'72 metros, en este atlas de sobremesa mediría 1'72 micrómetros.

Volvemos a consultar la Wikipedia en su artículo sobre Bacterias:
Las bacterias son microorganismos unicelulares. Tienen típicamente algunos micrómetros de largo (entre 0,5 y 5 μm) y se presentan en diversas formas incluyendo esferas, barras, y espirales.
Con lo que las personas, en esa España de atlas, tendrían el tamaño de bacterias medianas. También podemos pensar que si las bacterias adquirieran inteligencia, se organizaran y desarrollaran como un pueblo, y finalmente construyeran un país como el nuestro, su país cabría sobre una mesa circular de no más de un metro de diámetro.

Más triángulos en la tele

Anoche, zapeando, me volví a encontrar con el concurso de la llamada, y en pantalla aparecía una nueva figura, en la que había que contar cuántos triángulos aparecían, una figura similar a las que ya comenté en una entrada anterior del blog, Triángulos en la tele. Concretamente, su forma era la siguiente:


Esta vez no me entretuve en copiarlo en un papel, darle nombre a los vértices y escribir todas las combinaciones posibles de tres vértices formando un triángulo, sino que envalentonado por la práctica adquirida con las dos figuras anteriores, estuve contándolos directamente sobre la pantalla del televisor. Llegué entonces a la conclusión de que contiene exactamente 19 triángulos.

Nunca he llamado al concurso, pero esta vez me animé. "Vamos a probar", me dije, "a ver qué pasa". Ofrecían 2400 euros. El precio de la llamada era de 1.10 euros más IVA. "Veamos qué truco tiene esto", pensé, porque sabía que tenía que tener alguno.

Suena la llamada y me contestan del otro lado. "¡Ooooh!", una exclamación como de muchas personas lamentándose cuando alguien falla algo en un concurso. Luego una voz masculina: "Su llamada es la sexta de diez. Sólo pasa la décima llamada". Cuelgo el teléfono. "Bien, ya sé cuál es el truco".

Evidentemente, no se trata de llamar y contestar. En primer lugar, no pasan todas las llamadas, sino que según la respuesta que recibí, pasa una de cada diez llamadas. Me imagino además, que a las llamadas que pasan las tendrán un ratito esperando, gastando 1.10 euros por minuto. En pantalla no se especificaba que fueran 1.10 euros cada minuto, sino que ése era el precio de la llamada. Finalmente, tienes que contestar bien.

En fin, como esperaba, uno de esos concursos nada claros en los que no sabes las condiciones completas hasta que te has gastado una cantidad importante de dinero. Lo único interesante es la parte matemática del asunto, que me ha servido para plantear problemas a los grumetes del Barco Escuela. Así, si alguno piensa participar en el concurso, como hice yo, y tiene la suerte de que entre su llamada, podrá decir el número correcto de triángulos, y no conformarse con soluciones superficiales erróneas.

1.11.07

Un fallo en el sistema decimal

Cuaderno de bitácora: enseñando a los grumetes a trabajar con los números decimales, me viene a la memoria uno de los descubrimientos que hice allá por mi época de estudiante. Entonces yo era un alumno que se interesaba profundamente por las clases de matemáticas, me concentraba en ellas con facilidad y seguía las explicaciones del profesor comprendiéndolas al momento. Captaba rápidamente conceptos y procedimientos, memorizaba fórmulas en cuanto empezaba a utilizarlas en los ejercicios, y era capaz algunas veces de ir más allá y emprender investigaciones silenciosas sobre ideas y cuestiones que aparecían en mi mente.
Uno de aquellos días, el profesor nos explicó que no existían dos números reales diferentes que estuvieran juntos, es decir, que si dos números eran distintos, entre ellos dos siempre se podían encontrar infinitos números.
Si, por ejemplo tenemos dos números aparentemente muy cercanos, como el 3'1415 y el 3'1416, siempre podemos empezar a escribir números entre ellos dos, tantos como queramos, infinitos: 3'14151, 3'14152, 3'14153, ..., 3'14159, 3'141501, 3'141502, ..., etc.
Ante estas afirmaciones, de forma automática, mi mente se puso a trabajar, a investigar si aquello era así, si realmente no se podían encontrar dos números diferentes que estuvieran literalmente pegados, uno a continuación del otro, entre los cuales no pudiera haber ningún número decimal.
Yo ya había dado los números decimales infinitos periódicos, y se me ocurrió la posibilidad de emplear uno de esos números, con un periodo muy especial, por ejemplo el 4'99999999..., es decir, un decimal infinito periódico en el que el periodo que se repite es el 9.
Me parecía evidente a todas luces que entre el 4'99999999... y el 5 no se podía meter ningún número, pues en cuanto modificara alguno de los decimales del primero saltaría al 5 sin remedio. No había ninguna separación, ningún hueco entre esos dos números, estaban literalmente pegados, uno a continuación del otro.
Levanté mi mano para intervenir, y cuando el profesor me dio la palabra le comenté lo que había pensado.
El profesor me contestó amablemente algo que yo no esperaba. Los números 4'99999999... y 5 en realidad son el mismo número. Me invitó a que pasara el primero a forma de fracción y comprobara el resultado, y así lo hice.Es sencillo calcular la fracción generatriz del número 4'99999999... Si le damos un nombre, n por ejemplo, y multiplicamos por 10, 10n = 49'99999999..., y restando 10n - n = 45, con lo que 9n = 45, y por tanto n = 5.
No podía creérmelo. Mi mente se resistía a aceptar lo que yo ya había asumido intuitivamente. Para mi aquellos dos números eran distintos, uno era un número entero, el 5, y otro era un número decimal infinito periódico, que estaba a un paso de convertirse en entero pero que no llegaba a serlo, le faltaba algo, un pequeño, mínimo paso allá en lo infinitesimal...
Más tarde, mientras cursaba la Licenciatura, nos tocó estudiar a fondo los números reales, los tipos de infinitos que habían, cuándo un conjunto es numerable y cuándo no lo es, etc. Nos dieron una demostración de la no numerabilidad de R, el conjunto de los números reales, y para ello se utilizaba la expresión decimal de los números.
Ahí aprendí que los números son independientes de su expresión decimal, que la expresión decimal es tan solo el nombre del número en el sistema decimal. La expresión decimal identifica al número, pero no es el número. Puedo escribir 5, y sé lo que significa, pero también puedo escribir V, y es lo mismo pero en números romanos, o en sistema binario 101.
El sistema decimal, con los diez dígitos y el uso de la coma y los decimales es muy bueno para darle nombre a los números, pero tiene un fallo cuando entramos en los números infinitos periódicos, y es el famoso periodo 99999999..., pues cualquier número decimal con este periodo coincide con el siguiente número. Así, 4'99999999... = 5, lo mismo que 0'99999999... = 1, o lo mismo que 3,141599999999... = 3'1416.
Por supuesto, esto es sólo una preocupación para matenavegantes. El resto de la humanidad puede dormir tranquilo, sin que un número decimal infinito de periodo 9 venga nunca a perturbar sus sueños...
PD: investigando por encima lo que se dice en la red de este asunto, he encontrado un blog llamado Gaussianos, y una página que trata de este tema del periodo nueve.