Potencias de dos

Cuaderno de bitácora: la semana pasada rescatamos a un náufrago que iba a la deriva aferrado a los restos de un tablón de madera. Cuando lo subimos a bordo se encontraba muy mal de salud. Deliraba y tenía mucha fiebre. Tuvimos que ponerlo en un camarote bajo constante supervisión médica, y se fue recuperando poco a poco durante estos días. Ayer ya pude conversar con él por primera vez.

Al parecer se ha pasado varios días en el mar, resistiendo el embate de las olas, la luz del sol, el frío y la humedad, y al final ha tenido suerte, porque cuando le encontramos ya estaba al límite de sus fuerzas. Probablemente habría muerto sólo horas después si no llegamos a subirle a bordo.

Sin embargo, como suele suceder cuando una persona es sometida a unas condiciones tan duras, su cordura ha quedado afectada. No da muestras, de momento, de razonar ni comportarse como un ser humano normal. Se ha obsesionado con los números y más concretamente con el número dos, y no hace más que pensar en dicho número, en sus potencias y en las propiedades, interesantes o estúpidas, que va encontrando entre ellas.

-Durante estos días que estuve a la deriva -me decía ayer-, he logrado aprenderme de memoria más de cien potencias de 2.

-¡Vaya cosa! -le respondí- ¿Y por qué lo hizo?

-Para olvidarme de mi situación desesperada. Y lo he conseguido. Me he salvado. Al 2 le debo la vida. Sin él habría dejado de luchar contra el mar mucho tiempo antes y me habría ahogado.

-Increíble.

-Sí, puede parecerlo. Pero el 2 es un número especial. ¿Sabía usted, por ejemplo, que es el número primo más pequeño?

-Sí, ya lo sabía.

-¿Y que es el único número primo que es par? Todos los demás primos son impares...

-Sí, eso también lo sabía.

-Además es el único número que su cuadrado coincide con su doble.

-No es el único. Esa propiedad también la cumple el cero.

-Pero, ¿qué es el cero sino la nada? El dos, sin embargo, es algo, no es un cero ni es un uno que al multiplicarse por si mismo se queda invariable. Es el primer número que tiene algo de carácter. Es el padre de todos los números pares. Pero no me interesan los números pares en general. Como le digo, me interesan las potencias de dos. Por ejemplo, la primera en la que me fijé fue 2 elevado a 10.

-Sí, 1024, la cifra que se usa en informática para pasar de Kas a Megas, de Megas a Gigas y de Gigas a Teras.

-Exactamente. Es una potencia de 2 que se parece mucho a una potencia de 10, concretamente a 1000. Luego hay otras potencias de 2 que también se parecen a potencias de 10.

-Supongo que se refiere usted a 2 elevado a 20, 2 elevado a 30 y así sucesivamente.

-Sí, pero también a otras curiosas. Veamos: 2 elevado a 20 es igual a 1.048.576, se parece a un millón, pero se diferencia de un millón en más de un 4'8%. Por otra parte, 2 elevado a 30 es 1.073.741.824, se parece a mil millones, pero ya se aparta en más de un 7'3%.

-Bueno, así va ocurriendo con las potencias más altas, supongo.

-Si continúa con 2 elevado a 40, a 50, a 60, etc., es así, pero fíjese en una potencia inesperada: 2 elevado a 103.

-Eso no sé cuánto vale.

-Pero yo sí -y tomó un papel y escribió rápidamente un número muy largo: 10.141.204.801.825.835.211.973.625.643.008-. Como puede observar, se parece mucho a diez quintillones, y sólo se diferencia de él en apenas un 1'4%.

-Ya -dije, un poco aburrido-. Supongo que si continúa haciendo potencias encontrará alguna que se parezca todavía más a una potencia de 10 correspondiente.

Me miró y creí percibir una pequeña molestia en su expresión.

-Bueno, deje que le cuente otras curiosidades. Si vamos escribiendo las potencias de 2, observará que cada una es un número con digitos que no se repiten. ¿Sabe cuál es la primera potencia de dos en la que hay dígitos repetidos?

-No.

-Es 2 elevado a 16: 65.536. Aparecen repetidos el 6 y el 5. ¿No le parece interesante que haya que elevar 2 a una potencia de 2? Porque 16 también es una potencia de 2, es 2 elevado a 4.

-Vaya.

-Sí. Lo curioso es que a partir de 2 elevado a 16, todas las siguientes potencias tienen dígitos repetidos, salvo dos casos. Así llegamos, por ejemplo, una muy bonita, 2 elevado a 25, que es 33.554.432. Resulta curioso la sucesión de parejas, de 3, de 5, de 4, para acabar con 32, otra potencia de 2, 2 elevado a 5. Otra muy curiosa es 2 elevado a 23, que da 8.388.608, en la que el 8 (otra potencia de 2) aparece repetido cuatro veces.

-Ajá.

-Los dos casos que no repiten dígitos a partir de la potencia 16 son 2 elevado a 20, que ya lo mencionamos antes, y el mejor de todos, el que más me gusta, 2 elevado a 29, 536.870.912, en el que aparecen todos los dígitos salvo el 4 (de nuevo otra potencia de 2). Pero la potencia de 2 que más me gusta es ésta: 18.446.744.073.709.551.615.

-¡Eh, un momento! -exclamé-. Ese número no es una potencia de dos, porque ni siquiera es un número par.

El náufrago me sonrió de forma astuta.

-Veo que no está tan distraído como empezaba a temer. En efecto. No es una potencia de dos. En realidad la potencia de dos es 2 elevado a 64, 18.446.744.073.709.551.616, una unidad mayor. La cifra que mencioné antes es la cantidad de granos de trigo que pidió el inventor del ajedrez como recompensa. Es la que se obtiene al colocar un grano de trigo en la primera casilla del tablero de ajedrez, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así las potencias sucesivas de 2 hasta completar las 64 casillas. Cuando sumamos todos los granos de trigo, se obtiene esa cifra...

En ese momento, el náufrago entró otra vez en delirio, y ya no pudo continuar la conversación de forma normal. El médico le administró un sedante, y hoy sigue descansando. Cuando despierte, hablaré de nuevo con él, y espero que vaya recuperando su cordura.