26.5.08

La plaza de toros más grande del mundo

Cuaderno de bitácora: estuve hojeando un libro que hemos obtenido en una de nuestras llegadas a puerto, El Mentor de Matemáticas, de la editorial Océano, y me encontré con un problema cuyo enunciado reza así:
Una plaza de toros circular tiene un contorno de 628 metros. El toro se encuentra en el centro del ruedo y se dirige en línea recta hacia un torero, que se encuentra en una de las barreras del coso. ¿Cuántos metros recorrerá el toro antes de alcanzar al torero?
Como puede apreciarse, el problema te da la longitud de una circunferencia, que en este caso es el contorno de una plaza de toros, y te pregunta el radio de esa circunferencia, que es el recorrido que hace el toro hasta alcanzar al torero.

La fórmula de la longitud de una circunferencia es L=2·pi·r. Pero hace tiempo que me independicé de esta fórmula, y regresé a la definición del número pi. Prefiero recordar que la longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro. El número pi es aproximadamente 3'14, luego la longitud de una circunferencia es unas tres veces y pico mayor que el diámetro. El díámetro está contenido en la circunferencia tres veces y un poco más.
Los grumetes saben la fórmula de la longitud de una circunferencia, pero cuando les pregunto que me calculen mentalmente una longitud sencilla, no saben hacerlo, necesitan escribir la fórmula en el cuaderno y usar la calculadora.

En Sevilla, mi ciudad natal, y en gran parte de Andalucía, es tradicional que en la salita de las casas haya una mesa circular, llamada mesa camilla, al centro de la cual se coloca en invierno un brasero para que caliente a las personas que se sientan a ella. Antiguamente, hasta hace unos veinticinco o treinta años, el brasero era una bandeja de bronce que se llenaba de cisco o picón, una especie de carbón vegetal. Luego fue sustituido por el brasero eléctrico o por una pequeña bombona de gas con un quemador. Para mantener el calor debajo de la mesa, se cubre con una ropa o enagüilla, hecha de tela gruesa, terciopelo o similar que llega hasta el suelo.
A los grumetes les suelo poner el ejemplo siguiente: tenemos una mesa camilla de 1 metro de diámetro, y queremos hacerle una enagüilla para cubrirla. ¿Cuántos metros de enagüilla necesitamos para rodear la mesa?
Los grumetes tardan mucho en llegar a la respuesta, a pesar de lo evidente que es: si el diámetro es de 1 metro, la circunferencia mide aproximadamente 3'14 metros, con lo que comprando 3 metros y medio de tela sobra para rodear la mesa.

Regresando al problema de la plaza de toros, cuando vi que el contorno era de 628 metros gracias a un razonamiento similar al de la mesa camilla, me vino inmediatamente la longitud del diámetro: 200 metros, y por tanto el radio era de 100 metros.

Y entonces pensé ¿200 metros de diámetro? La plaza de toros es gigantesca. Un campo de fútbol mide entre 100 y 110 metros de largo, por tanto en dicha plaza de toros cabe un campo de fútbol con holgura, de hecho es tan larga como casi dos campos de fútbol, y la distancia del toro al torero es tal como si el toro estuviera en una de las porterías y el torero estuviera en la otra. Dudo incluso que a esa distancia el toro pueda darse cuenta de la presencia del torero o de importarle siquiera.

Picado por la curiosidad consulté las medidas reales de las plazas de toros. Al parecer, la que tiene el ruedo más grande del mundo es la Plaza de las Ventas, en Madrid [recientemente hemos descubierto que esto no es cierto, ver notas y comentarios], con 61,5 metros de diámetro, lo cual se queda bastante lejos de los 200 del problema. La Plaza de toros de México es la que tiene un mayor aforo del mundo, con más de 46.000 localidades, pero su ruedo tiene 43 metros de diámetro.

Este problema es uno de los muchos cuyo enunciado no tiene nada que ver con la realidad. Los autores de los libros de matemáticas y los profesores, nos dejamos llevar por una intención práctica y tenemos a menudo la mala costumbre de plantear problemas que no tienen sentido real. Personalmente creo que es un grave error, porque el problema conduce solamente a una operación aritmética hueca. Si planteamos un enunciado, ¿no sería mejor ilustrarlo con algo que existe realmente?
Se podría plantear el problema con el ejemplo auténtico de la Plaza de las Ventas: el contorno mide unos 188'4 metros, o 188 metros aproximadamente. Se podría hablar de dicha plaza y comentar que es la que tiene el mayor ruedo del mundo. Se podría especificar los componentes de una plaza de toros. Se podría también comparar sus dimensiones con el tamaño de un estadio de fútbol, o con el de un polideportivo. Los grumetes adquirirían un poco más de cultura y tendrían más nociones para poder comparar dimensiones, longitudes, áreas, etc.; se harían una idea de qué es más grande, qué es más pequeño, y en cuánta cantidad. Hoy, con ayuda de toda la información de Internet es posible conseguir los datos necesarios casi inmediatamente.
Un último comentario, esta vez positivo: lo que sí está correcto es que el problema especifica que la plaza de toros sea circular, y hace bien especificándolo, porque no todas las plazas lo son. Por ejemplo, la famosa Plaza de la Maestranza de Sevilla tiene un ruedo un poco irregular, pareciendo un círculo u óvalo achatado en uno de los lados, como se puede apreciar si se observa desde el aire.
Notas: [26.2.10] la información se va actualizando y perfeccionando con el paso de los años, y gracias a un comentario de Miguel, hemos comprobado que el dato no es correcto. La plaza de toros con el ruedo más grande es la de Ronda, en Málaga, cuyo ruedo tiene 66 metros de diámetro. Según esto, la circunferencia del ruedo se quedaría en un poco más de 207 metros.
No recuerdo ahora donde busqué la información para escribir este artículo, pero esto me sirve una vez más para corroborar que muchos datos que circulan por la red pueden estar equivocados; siempre que tomemos un dato es interesante confirmarlo a través de varias fuentes y no dar por cierto lo primero que leemos.

23.5.08

Pantallas y formatos

En una entrada anterior estuvimos escribiendo sobre las ternas pitagóricas, y más concretamente sobre la terna 3-4-5. Recordemos que estos tres números cumplen el teorema de Pitágoras, es decir, la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero, y por tanto, si dibujamos un triángulo cuyos lados midan respectivamente 3, 4 y 5, entonces el triángulo es rectángulo.

De la misma forma, si tomamos un rectángulo en el que la altura mida 3 unidades y la base mida 4 unidades, entonces la diagonal del rectángulo mide exactamente 5 unidades.

El rectángulo de proporciones 3-4-5 no está nada lejos de nuestra vida diaria. Se encuentra, por ejemplo, en los televisores tradicionales. El rectángulo de la pantalla de una tele de toda la vida es un rectángulo cuya altura y anchura están en proporción a 3 y 4.

Esta proporción se suele escribir normalmente 4:3. También los monitores de los ordenadores suelen cumplir esta proporción: las resoluciones de píxeles en la pantalla, 640 por 480, 800 por 600, 1024 por 768, son proporcionales a 4:3. Esto puede comprobarse simplificando las fracciones 640/480, 800/600 y 1024/768. No pasa lo mismo con la resolución de 1280 por 1024, que es proporcional a 5:4.

En la parte de atrás de las carátulas de los DVD's de películas y series de televisión vienen especificadas sus características, y una de ellas es la proporción rectangular de la imagen. Muchos de los DVD's tienen la proporción 4:3, y eso significa que la imagen encaja perfectamente en un televisor o pantalla que tenga la misma proporción, sin dejar bandas oscuras horizontales ni verticales.

Diferentes son las televisiones panorámicas que se están vendiendo actualmente, esas ya no siguen la proporción 4:3, son rectángulos más alargados, con proporciones como 16:9. Así un monitor 1280 por 720 sigue exactamente esta última proporción, en la que están filmadas muchas películas. Cuando una película filmada en 16:9 se proyecta en un televisor o pantalla tradicional 4:3 entonces quedan dos bandas horizontales negras, una encima y otra debajo de la imagen de la película.

Se puede comprobar en la ilustración las diferentes proporciones entre un rectángulo 4:3 y uno 16:9. Este último es más alargado, más panorámico. También sucede que cuando la emisión de 4:3 trata de adaptarse a 16:9 sin dejar bandas negras a los lados, la imagen queda deformada, las caras y los objetos se ven anchos y aplastados, aunque con el tiempo uno se acostumbra a verlos así.

Esto de las proporciones también ha de tenerse muy en cuenta a la hora de revelar fotografías. Las tiendas de fotos ofrecen diversos tamaños para las fotografías a diversos precios. Por ejemplo, uno de los más corrientes es el tamaño de 10 por 15 centímetros, otro es 13.5 por 18 centímetros, otro es 15 por 20 centímetros. Estos dos últimos tamaños, 13.5 por 18 y 15 por 20 son proporcionales ambos a nuestro rectángulo 3 por 4. Sin embargo el tamaño pequeño, 10 por 15, no es proporcional a 3 por 4 sino que es más panorámico. Si hacemos una foto cuyas proporciones estén ajustadas a 4:3, entonces al revelarlas en un tamaño 10 por 15 no saldrán con el encuadre que nosotros hemos elegido, se les recortará un poco por dos de los lados.

Puede ocurrir entonces que si nosotros, al hacer la foto, hemos apurado los bordes para encuadrar el motivo, entonces el recorte nos puede estropear la foto. Por ejemplo, si hay personas en la foto pueden salir con los pies o parte de las cabezas cortados, y si hemos fotografiado una torre o un monumento, la cima de la torre también puede quedar cortada. Esto último, en concreto, le pasó a una compañera de trabajo, cuando fue a revelar las fotos de una torre que había tomado durante unas vacaciones.

Hace dos años hice fotos a los grupos de grumetes de nuestro Barco Escuela, y se me ocurrió revelarlas en dos formatos, tamaño grande de 15 por 20, y tamaño súper grande de 20 por 30 centímetros. Ambos formatos, como puede observarse, no son proporcionales, el primero es 4:3 y el segundo es 3:2, más panorámico. A las fotos les añadí con ayuda del Photoshop un letrero indicando el nombre de nuestro Barco, el curso y el año. Tuve que hacer dos versiones digitales de las fotos, y llevarlas recortadas previamente al laboratorio fotográfico, pues si no lo hacía, las copias en tamaño 15 por 20 saldrían perfectas, pero las copias en tamaño 20 por 30 saldrían con el letrero recortado. Al final las copias salieron correctamente y a muy buen precio, pero vi que era mucho trabajo encargar copias a dos tamaños, recoger el dinero de cientos de copias, repartirlas, etc. El año pasado y éste me he limitado a sacarlas en 15 por 20 centímetros, porque además las de tamaño súper grande ya no están de oferta y salen bastante caras.

13.5.08

3 - 4 - 5

Cuaderno de bitácora: una vez más me encuentro con los números 3, 4 y 5. Quizás los legos en la matenavegación no imaginan qué tienen de particular estos tres números. Supongo que se pueden encontrar muchas características especiales de los tres, pero para mi, la que se me viene a la mente de inmediato, es que forman una terna pitagórica, la más sencilla y más conocida de todas.

Los números 3, 4 y 5 tienen la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 9 + 16 = 25. Son tres números enteros que cumplen el famoso teorema de Pitágoras. Si construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan respectivamente 3 y 4 unidades, entonces la hipotenusa mide 5 unidades exactamente.

Esto es un descubrimiento que puede parecer interesante, pero no es nuevo, desde luego. Se conoce desde la más remota antigüedad. Aparece en papiros egipcios antiguos que tratan sobre matemáticas, y en tablillas babilónicas. Aparece también en las matemáticas de la antigua China, en Grecia, etc.

Los números 3, 4 y 5 no son los únicos que cumplen esta propiedad. Hay infinitas ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras. Tenemos por ejemplo 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 12-35-37, 20-99-101, 20-21-29, 24-143-145, 28-45-53, 33-56-65, 48-55-73, 65-72-97, 119-120-169, 123-164-205, 261-380-461, ...

También podemos contar, por supuesto, todas las ternas que son múltiplos de las mencionadas. Así, de 3-4-5, con sólo multiplicar por 2 sacamos 6-8-10, que también cumple la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 36+64=100. Si multiplicamos por 3, tenemos la terna 9-12-15, si multiplicamos por 4, la terna 12-16-20, etc. Todas estas ternas de números cumplen el teorema de Pitágoras.

Se dice que en el antiguo Egipto se utilizó esta propiedad para construir de forma sencilla ángulos rectos. Los agrimensores, por ejemplo, necesitaban trazar ángulos rectos en el terreno para reconstruir y medir la superficie de los campos de cultivo inundados por las crecidas del Nilo. Los arquitectos y constructores trazaban ángulos rectos con los que levantaban las impresionantes y monumentales construcciones que todavía nos asombran: pirámides, templos, obeliscos, etc.

Si se necesita construir un ángulo recto en el suelo, se puede emplear un método muy sencillo usando nuestra terna protagonista: se toma una cuerda suficientemente larga; como tenemos que 3+4+5=12, se van señalando en la cuerda 12 tramos de igual longitud, por ejemplo con la ayuda de nudos (se necesitarán 13 nudos). Se une el primer nudo con el último y se estira la cuerda por los nudos correspondientes para que se forme un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5. Este triángulo es rectángulo. El ángulo recto es el que está entre los lados que miden 3 y 4. La exactitud de dicho ángulo recto depende exclusivamente de la exactitud con la que se hayan medido los doce tramos sobre la cuerda.

Esta experiencia la hemos realizado hace algunos días con los grumetes. sobre el suelo del Barco Escuela. Hemos tomado una cuerda, hemos medido en ella doce segmentos de un metro de longitud cada uno, hemos construido el triángulo 3-4-5 y hemos trazado con tiza su silueta sobre el suelo. El ángulo recto nos salió bastante exacto.

No conformes con dibujar un triángulo, repetimos el dibujo hasta obtener la siguiente figura:

Cuando teníamos terminado el dibujo, estuvimos comentando sobre la superficie dibujada en el suelo: así, por ejemplo, el cuadrado central, al tener de lado 5 metros, medía 25 metros cuadrados, y el cuadrado exterior, de lado 7 metros, tenía 49 metros cuadrados. Es la superficie de un apartamento pequeño, y también, aproximadamente, la superficie de una de las aulas del Barco Escuela.

Para terminar, varias cosas: hay una página muy curiosa donde se guardan imágenes de gran cantidad de sellos de correos sobre matemáticos.

Por otro lado, en el cuarto párrafo hemos mencionado unas cuantas ternas pitagóricas, todas ellas formadas por números naturales primos entre sí, es decir, las ternas no se pueden simplificar a ternas más sencillas, excepto una, que se puede simplificar a la terna protagonista de este artículo, ¿cuál es?

Por último, el tema de los triángulos 3-4-5 me lleva a conectar con las proporciones que tienen las pantallas de los televisores, de lo que hablaré en una próxima entrada del blog.

2.5.08

El plato de las tartas

Cuaderno de bitácora: esta mañana, surcando los Matemares, encontré en una isla desierta, semienterrado en la arena de lo incógnito, el Plato de las Tartas.

Allí estaba yo, solo, explorando nuevos territorios por los que apenas han pasado matenavegantes, sosteniendo entre mis manos el precioso objeto, precioso no tanto por su valor material sino por su rareza. Abrumado durante unos momentos por el asombro, no hacía más que preguntarme cómo una cosa tan simple no era más conocida y extendida por todo el orbe matemático...

Por mi mente empezaron a desfilar todos aquellos momentos durante los que me afané en explicar a los grumetes el significado de las fracciones, utilizando como símil una tarta que se parte en trozos iguales... Si tan sólo hubiera conocido este maravilloso Plato...






En la foto se puede apreciar que a lo largo de la circunferencia del plato hay una serie de marcas, señaladas con números. En algunas marcas hay sólo un número, y en otras hay grupos de varios números.

Este plato sirve de ayuda a la hora de cortar una tarta en porciones iguales. La tarta se coloca en el plato, bien centrada, y según el número de trozos en que queremos dividirla así tenemos que fijarnos en las marcas.

Por ejemplo, supongamos que queremos dividir la tarta en 6 porciones. Entonces cortaremos con el cuchillo desde el centro de la tarta hasta cada una de las marcas donde aparezca el número 6. Si nos fijamos, hay seis marcas con el número 6, y todas ellas están a la misma distancia.

Lo mismo ocurre con los demás números. El plato de las tartas es una guía para cortar en trozos iguales, en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 trozos.

En la vida corriente, como no se dispone de un plato como el de la foto, las tartas se cortan a ojo, o bien en un número geométricamente sencillo de partes, como el 8. Es raro que a alguien se le ocurra cortar una tarta en 5 partes, o en 9 partes, o en 7 partes, pero con el plato de las tartas es posible hacerlo, y además de forma equitativa.

Esta foto fue encontrada en un libro inglés, Maths Challenge, escrito por Tony Gardiner y editado por Oxford.