El Cofre de los Tesoros Matemáticos

Cuaderno de bitácora: hace un par de semanas decidí crear el Cofre de los Tesoros Matemáticos. Como todo marino que se precie, me atraen los tesoros escondidos por los siete mares. En este caso, voy a ir recopilando en un cofre todos aquellos que ya tenía y los que vaya consiguiendo durante las próximas travesías.

Es mi objetivo, durante las próximas entradas del blog ir escribiendo con detalle de cada una de las joyas del tesoro. En esta entrada voy a mencionar algunas de las que tengo en mi poder.

Podemos comenzar por el ábaco. En el cofre hay dos tipos de ábaco, el suan-pan chino, y el ábaco japonés o soroban. El ábaco chino tiene quince varillas, y en cada varilla hay cuentas negras redondeadas, de forma toroidal, en grupos de cinco y de dos, separados los grupos por un travesaño. El soroban, mucho más pequeño en tamaño y por tanto más manejable, ha reducido el número de fichas al mínimo indispensable: trece varillas, en cada una cuentas en dos grupos, uno de cuatro fichas, en lugar de las cinco del ábaco chino, y otro de una sola, en lugar de las dos del ábaco chino. Las cuentas son de color blanco discoidales, con borde afilado. Además, el soroban tiene un pulsador en uno de los lados que hace palanca para que todas las piezas vuelvan a la posición de cero. El soroban se dice que es el ábaco más evolucionado; una página desde la que se puede descargar un manual completo del uso del soroban es ésta.

Recientemente conseguí en la sección de papelería de unos grandes almacenes ún sencillo espirógrafo, un artilugio parecido a una regla que junto a unas ruedas dentadas de varios tamaños permite dibujar curvas epicicloides muy bonitas. Para saber más sobre el espirógrafo hay dos páginas, la primera en inglés y la segunda en español, que además incorporan programas Java con los que se pueden dibujar epicicloides de todos los tipos y a varios colores.

Entre mis tesoros más antiguos tengo que destacar dos calculadoras de la marca Casio, una de ellas, de más de treinta años de antigüedad, con pantalla de fósforo verde luminoso, sencilla, funciona con dos pilas normales y sólo hace las operaciones básicas, raíces cuadradas y tantos por ciento. La otra tiene más de veinte años y es científica, y recuerdo que en la época que me la compré me costó mucho dinero, casi 6.000 pesetas, o 36 euros al cambio. Hoy en día se puede conseguir una calculadora científica de más o menos las mismas prestaciones por tan sólo diez o doce euros, así son las paradojas del mercado.

En el cofre también he introducido algunas variedades de cubos de Rubik que han salido al mercado. Está el cubo normal de orden tres, un par de cubos de orden dos, y otro de orden tres en el que las caras en lugar de ser de colores están cubiertas con los dígitos del 1 al 9, de forma que, similar a los Sudokus, en cada cara del cubo están todos los dígitos del 1 al 9 sin repetirse ninguno.

En algunas tiendas de decoración se han puesto de moda últimamente vender esferas metalizadas que reflejan el entorno como si fueran espejos. En cuanto las vi compré una, porque me recuerdan mucho el autorretrato de Escher en el que se ve su mano sosteniendo la esfera y su imagen reflejada en la superficie.

También se han puesto de moda los puzles formados por dos piezas metálicas semejando argollas abiertas de formas diversas que han de unirse y desunirse sin emplear la fuerza, sino con una combinación de movimientos y orientaciones de las piezas para que la unión o separación sea suave. En el cofre solo tengo uno ahora mismo, porque en una incursión pirata me robaron tres o cuatro que atesoraba de uno de mis viajes.

El año pasado tuvo mucho éxito un astrolabio que realicé a partir de un recortable comprado en el Parque de las Ciencias. Me permitió aprender el manejo de los antiguos astrolabios y enseñárselo a grumetes y compañeros oficiales. En la navegación actual, con los sistemas GPS, ya no es necesario el astrolabio, pero en la Edad Media y siglos posteriores fue imprescindible.

A partir del astrolabio decidí también confeccionar un cuadrante con el que es sencillo medir el ángulo de visión sobre el horizonte de un punto elevado, ya sea estrella, montaña, torre, y además se puede calcular rápidamente con su escala la altura de un punto elevado si tenemos acceso a su base, así se puede calcular o medir la altura de una torre, de un árbol, etc.

A mi infancia se remonta el uso del View-Master, un aparato que permite ver fotografías en tres dimensiones, las llamadas fotografías estereoscópicas, relacionadas con los estereogramas. Me lo trajeron de Holanda de regalo unos amigos de la familia que habían emigrado a ese país y que regresaban de visita cada verano. Con el aparato conservo unos cuantos discos con fotografías, de paisajes, de animales y plantas, y de películas de aventuras.

También tengo un par de caleidoscopios, uno tradicional o clásico, con un grupo de piececitas de colores al final del tubo, que se pueden mover para ir configurando infinidad de simetrías, y otro con una lente esférica, también llamado tomoscopio, con lo que las imágenes simétricas se forman con la misma imagen del entorno en donde estamos, con las caras de las personas, con los paisajes, etc.

Tengo más tesoros, pero de momento son suficientes para la entrada de hoy.

Caligrafías simétricas

Cuaderno de bitácora: estuvimos explicando un tema de geometría bastante agradable, el que estudia los movimientos en el plano: traslaciones, giros y simetrías. Las aplicaciones gráficas, artísticas y decorativas de este tema son muy abundantes, y con unas reglas muy sencillas se pueden crear motivos geométricos muy bonitos.

En uno de los libros de Martin Gardner, aparece un artículo dedicado a Scott Kim, un diseñador de pasatiempos y juegos de ordenador, y autor de inversiones, nombre que la ha dado a las palabras cuya caligrafía permite leerlas de más de un modo. Una de las posibilidades es lo que podríamos llamar caligrafías simétricas, en las que una palabra se puede leer en la dirección normal, y si le aplicamos una simetría, central o axial, la palabra queda invariante.

Algunas letras, si las escribimos en mayúsculas y en un tipo de letra sencillo como la Arial, son simétricas por sí mismas. Así, por ejemplo, la A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y, son todas simétricas respecto a un eje vertical que las divida por la mitad. La C, D, H, I, O, X, son simétricas respecto a un eje horizontal que pase por su centro, y la B, la E y la K, también se pueden dibujar de forma simétrica a ese eje horizontal, aunque en el tipo de fuente no aparezcan como simétricas exactamente. Las letras H, I, N, O, S, X, Z, presentan simetría central, si imaginamos que su centro es un eje de giro, y las giramos 180º sobre sí mismas, las letras no varían. El resto de las letras, F, G, J, L, Ñ, P, Q, R, no presentan ninguna simetría. Bueno, en realidad la L se puede dibujar alargando el palo horizontal, de forma que sea simétrica respecto a un eje inclinado 45º que pase por su vértice.

Usando este tipo de caligrafía, se pueden escribir palabras simétricas. Así, por ejemplo, AMA, OSO, ONO (el nombre de una empresa de telefonía y televisión por cable), AVIVA, CODO, etc., todas son simétricas, con simetrías axiales o centrales.

Diferente es cuando se quiere conseguir que cualquier palabra, escrita con una caligrafía especial, sea simétrica. Entonces se tiene que jugar con las posibilidades que dan las letras, deformarlas, añadirles extremidades, curvas, complementos, sin desvirtuarlas, para que en un sentido se lea una letra y en otro sentido se lea otra. Scott Kim es un maestro en este arte, véase, por ejemplo, cómo ha escrito el nombre de Martin Gardner con simetría central:

Compruébese que, de hecho, si giramos la imagen 180º permanece invariante.

Yo, por mi parte, me he entretenido en hacer algunos bocetos de nombres en español, unos más conseguidos que otros, cuyo fin ha sido mostrarlos a los grumetes para que vean lo que se puede empezar a hacer combinando un poco de matemáticas con la caligrafía y el arte. Se interesan y les gusta, sobre todo cuando ven su propio nombre escrito de esta forma. Abajo presento los bocetos de Adolfo, Ana, Antonio, Cayetano, Daniel, Irma, Jesús, Juan, Marian, Nerea, Renato, Sandra y Silvia, todos dibujados con simetría central. Están hechos a mano y escaneados, por eso no son muy perfectos.

Los siguientes, Loli y Pepe, son simétricos respecto a un eje horizontal que los divide por la mitad.

No quiero extenderme mucho en esta entrada, aunque el tema conecta con otros puntos interesantes. Por ejemplo los palíndromos, palabras y frases que presentan simetría ortográfica, y permanecen invariantes si se invierten las letras de orden. Palabras como seres, sacas, anilina, reconocer, etc., son palíndromos, lo mismo que frases enteras, como la famosa dábale arroz a la zorra el abad. Para conocer más palíndromos se puede visitar la página de Víctor Cascajo, en la que hay una colección enorme de ellos.

Sobre Pitágoras

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas estuvimos viendo un documental en el Barco Escuela sobre Pitágoras. El título del documental es Pitágoras, Mucho más que un Teorema. Pertenece a la serie Universo Matemático, una serie documental muy bien hecha que ha sido emitida por Televisión Española. Su creador es Antonio Pérez Sánz, profesor del IES Salvador Dalí de Madrid.

Como se cuenta en el documental, Pitágoras es quizás el más conocido entre todos los matemáticos, por lo menos de nombre, y el teorema de Pitágoras es el que casi todo el mundo cita, si se le pregunta por algún teorema. Recuerdo que a veces, cuando un niño destacaba en matemáticas, se decía de él que era un pitagorín. Éste era el nombre de un personaje de cómic, de un niño muy listo que aparecía en los tebeos de Bruguera de los años sesenta y setenta, y de ahí la palabra ha pasado a algunos diccionarios y se define como estudiante muy aplicado que siempre sabe las respuestas.

Pitágoras vivió en el siglo sexto antes de nuestra era, y nació en la isla griega de Samos. Durante su juventud viajó por diversos lugares del mundo, principalmente Egipto y Oriente Medio. Algunos afirman que también estuvo por Europa y llegó a contactar con los druidas de la cultura céltica. Fue contemporáneo de los Grandes Maestros de las religiones orientales: Siddharta Gautama el Buddha, Lao Zi (Lao Tsé) y Confucio.

Cuando tenía cuarenta años, regresó a Grecia, y tras ver que en Samos no era aceptado, viajó hasta Crotona, al sur de Italia, donde se estableció y fundó la escuela de los Pitagóricos. Tras muchos años durante los que la escuela prosperó y creció, hubo una guerra entre Crotona y Sibaris, y como resultado la escuela fue incendiada. Se dice que Pitágoras logró huir a Metaponte, refugiándose allí hasta su muerte.

Pitágoras fue el creador de tres palabras fundamentales: cosmos, en el sentido de universo ordenado, todo lo que existe, existió o existirá; filosofía, y matemáticas. Como sabemos, la palabra filosofía significa amor a la sabiduría. Cuando se elogiaba a Pitágoras diciéndole que era un sabio, él lo negaba, respondiendo que tan sólo era un filósofo, un amante de la sabiduría.

La palabra matemáticas significa lo que se aprende, lo que se conoce. Para los antiguos pitagóricos, las matemáticas eran la base y la cima del conocimiento, un conocimiento que los conectaba con lo trascendente, con la Divinidad. Los números eran sagrados, y todo en el cosmos estaba basado en números. Filolao, uno de los miembros de la escuela de Pitágoras, decía: "Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen número, pues no es posible que sin número nada pueda ser conocido ni concebido".

A Pitágoras y a su escuela se debe la búsqueda del rigor matemático, de basar todos los resultados, principios, teoremas, en demostraciones y razonamientos lógicos que cualquier estudioso puede entender y compartir. A partir de Pitágoras, la matemática se independiza de una base empírica o práctica, convirtiéndose en una ciencia abstracta que existe más allá de la realidad cotidiana del ser humano.

El Teorema de Pitágoras no fue descubierto por él, porque ya se conocía en culturas muy antiguas, como la egipcia, la babilónica o la china. Se dice que Pitágoras fue uno de los primeros en demostrarlo con rigor. Demostraciones de este teorema hay muchísimas, al parecer es el teorema matemático del que más demostraciones distintas se han elaborado. Al principio del siglo XX, Elias Loomis publicó un libro con 367 demostraciones diferentes del teorema. Si alguien quiere conocer algunas de ellas, puede ver esta presentación.

Pitágoras es también responsable de las proporciones matemáticas de la escala musical. Asimismo, en la escuela pitagórica se estudiaban muchas propiedades de los números, que luego han sido profundizadas en épocas posteriores. Se analizaron los números poligonales (triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc.), los números perfectos, los números amigos, y se descubrieron los números irracionales.

Algunos autores afirman que los pitagóricos rechazaron la existencia de los números irracionales, porque creían que todas las cantidades eran conmensurables: al comparar una cantidad con otra cualquiera, la relación entre ambas siempre se podía expresar como un cociente de números enteros, como un número racional. Pero esto no es cierto, y el propio teorema de Pitágoras conduce rápidamente a uno de los números inconmensurables o irracionales mas sencillos, la raíz cuadrada de dos. Basta tomar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan exactamente 1 y 1, entonces la hipotenusa mide la raíz cuadrada de dos. La demostración de que la raíz cuadrada de dos es irracional la pongo a continuación; en ella se utiliza un método de demostración llamado reducción al absurdo, que consiste en suponer que es cierto algo que creemos que será falso, razonar sobre la suposición y llegar a una contradicción, en ese caso lo que habíamos supuesto no puede ser cierto, y por tanto es falso, que es lo que pretendíamos demostrar.

Otro número irracional conocido por los pitagóricos fue el famoso número áureo, o número fi, que aparece como la proporción entre los distintos segmentos definidos en el pentagrama o estrella de cinco puntas. Esta estrella era el símbolo de los pitagóricos.

Para ellos era también sagrado el número diez, simbolizado como un triángulo de puntos distribuidos en orden creciente, un punto en el vértice superior, dos puntos debajo, tres en la siguiente fila y cuatro en la base, formando la tetractys, que resumía en su entidad la estructura del universo. En efecto, un punto representa la dimensión cero, dos puntos definen una recta o dimensión uno, tres puntos no alineados determinan un plano, de dimensión dos, y finalmente, cuatro puntos que no estén en el mismo plano definen el espacio tridimensional. La suma de 1, 2, 3 y 4 da 10.

Pitágoras también estudió los sólidos perfectos, en particular el dodecaedro, y la llamada música de las esferas, y especuló sobre el sistema solar y las órbitas de los planetas.

Para complementar más sobre Pitágoras y su vida, se puede consultar mi artículo Pitágoras, publicado en doDK, y el artículo Los Puntazos de Pitágoras, de Miguel Olvera, publicado también en doDK.

Apotemas falsas

En geometría, cuando se estudian los polígonos nos encontramos con la fórmula del área de un polígono regular: perímetro por apotema partido por dos, (p · a) /2.

Así, se pueden plantear ejercicios para el cálculo del área de un pentágono regular, un hexágono regular, un heptágono, octógono, eneágono, decágono, etc. Por ejemplo, nos dicen: "Calcula el área de un pentágono regular de lado igual a 10 centímetros y apotema igual a 8 centímetros". El cálculo es inmediato: si el lado mide 10 cm, el perímetro, por ser un pentágono (cinco lados) es de 50 cm, multiplico por la apotema y divido entre dos, 50·8/2=200 centímetros cuadrados.

Figura1. Un pentágono regular "falso". Si el lado del pentágono regular es de 10 centímetros, la apotema no está libre para valer, por ejemplo, 8 centímetros.

Pongamos otro ejemplo: "Calcula el área de un heptágono regular de lado igual a 24 metros y apotema 30 metros". Tenemos que el perímetro es de 24·7=168 metros, y el área 168·30/2=2520 metros cuadrados.

Estos problemas, para un matenavegante experimentado, no tienen consistencia. En realidad, no existe ningún pentágono regular cuyo lado mida 10 centímetros exactamente y cuya apotema mida 8 centímetros exactamente. Tampoco existe ningún heptágono regular con lado 24 metros exactamente y apotema 30 metros exactos.

Si damos la longitud del lado de un polígono regular, entonces la apotema queda determinada automáticamente, no puede valer lo que nosotros queramos. Eso se ve con claridad en el caso del hexágono regular. Supongamos que un hexágono regular tiene un lado de 10 centímetros.

Figura 2. Si nos dan el lado de un hexágono regular, la apotema queda determinada y se puede calcular exactamente con el teorema de Pitágoras.

Al trazar los radios desde el centro hasta los vértices, obtenemos un triángulo equilátero. Esto sólo ocurre en el hexágono regular. Ese triángulo equilátero se puede partir por la mitad, y así tenemos un pequeño triángulo rectángulo del que conocemos la hipotenusa, 10 cm, y uno de los catetos, 5 cm. El otro cateto lo podemos averiguar por el teorema de Pitágoras, tomando la hipotenusa de 10 cm al cuadrado, restándole el cuadrado del cateto de 5 cm, y haciendo la raíz cuadrada. El resultado, tras un simple cálculo mental es de raíz cuadrada de 75 cm, que es aproximadamente 8.66 cm. Pero este cateto que acabamos de averiguar es precisamente la apotema del hexágono regular.

En el caso del pentágono, por ejemplo, al trazar los radios, se obtiene un triángulo isósceles, no equilátero como en el hexágono, y si lo partimos por la mitad, obtenemos un triángulo rectángulo. Pero en este caso la hipotenusa es desconocida. Debemos recurrir a los ángulos y a la trigonometría, si queremos calcular las longitudes que nos faltan. Teniendo en cuenta que el ángulo agudo que parte del centro del pentágono vale 36º (en el caso del pentágono basta dividir 360º entre 10), y conociendo las fórmulas de trigonometría, concretamente la fórmula de la tangente de un ángulo, podemos averiguar el cateto que nos falta en el triángulo rectángulo, es decir, la apotema del pentágono regular.

Figura 3. Si el lado del pentágono regular vale 10 centímetros, entonces la apotema se puede calcular usando trigonometría, concretamente la tangente del ángulo de 36º.

La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es igual al cateto opuesto al ángulo partido por el cateto contiguo, y de esa fórmula, despejando, tenemos que el cateto contiguo (la apotema que buscamos) es igual al cateto opuesto, 5 cm, partido por la tangente de 36º. La tangente de 36º se obtiene con una calculadora científica. El resultado sale 6.88 cm aproximadamente.

Figura 4. La apotema de un pentágono regular de 10 centímetros vale aproximadamente 6,8819 centímetros, lo cual está bastante desviado de los 8 centímetros inventados que nos planteaba el problema del principio.

Luego si un pentágono tiene lado 10 centímetros, su apotema vale 6.88 aproximadamente, nada parecido a 8 centímetros como decía el enunciado del problema de arriba.

Lo mismo ocurre con el heptágono. Si el lado vale 24 metros, trazamos los radios desde el centro del heptágono a los vértices, y tenemos un triángulo isósceles, de base 24. Lo dividimos por la altura, que es la apotema buscada, y tenemos un pequeño triángulo rectángulo, en el que uno de los catetos, el que hace de base, mide 12 cm. Ahora, el ángulo agudo que parte del centro del heptágono mide 360º/14 = 25.71º aproximadamente. La apotema buscada será igual a 12 centímetros dividido por la tangente de este ángulo. El resultado da: 24.92 centímetros aproximadamente, que quedan muy lejos de los 30 centímetros que planteaba el problema.

Figura 5. Aquí vemos el ejemplo del heptágono, similar al del pentágono regular.

Podemos concluir, por tanto, que hay que tener cuidado al plantear los problemas sobre áreas de polígonos regulares, pues si queremos que los enunciados tengan consistencia, debemos evitar las apotemas falsas y calcular las apotemas auténticas a partir de la medida del lado, bien con el teorema de Pitágoras, o bien con ayuda de la trigonometría y la fórmula de la tangente de un ángulo.

Para ampliar este tema, se puede continuar con la lectura del artículo La fórmula sin apotemas.

La ignorancia de sumar fracciones

Cuaderno de bitácora: por mucho empeño que le pongo, hay grumetes que no aprenden a sumar fracciones. Eso de tomar común denominador les resulta extraño y difícil. Algunos se niegan abierta o encubiertamente a aprenderlo. Para otros tomar común denominador les enfrenta al cálculo del mínimo común múltiplo, una operación larga y complicada de la que ya casi no se acuerdan. Les explico que no es necesario tomar el mínimo común múltiplo de los denominadores, que el mínimo común múltiplo es la mejor opción, pero que basta tomar un múltiplo de los denominadores, y que en un último caso se cogen los denominadores de las fracciones y se multiplican entre sí. Algunas veces sale un resultado muy grande, pero si se tiene calculadora no hay problema, y al final, si simplificamos la fracción que sale, el resultado está bien, aunque no se haya tomado el mínimo común múltiplo de los denominadores. Lo realmente importante es encontrar un denominador común.

Pero siempre quedan los grumetes que se empeñan en sumar las fracciones sumando numerador con numerador y denominador con denominador. Así, segun ellos 1/2 más 1/3 es igual a 2/5. Aunque este método es sencillísimo, el resultado está mal. Con este método no se suman las fracciones. Es como si queremos hacer espaquetis con tomate, y tomamos el paquete de espaguetis sin abrir, la lata de tomate sin abrir, los echamos los dos en una olla con agua y los ponemos a calentar. No creo que así obtengamos el plato que queremos.

Sin embargo, de repente, eso de sumar numerador con numerador y denominador con denominador, aunque no sirve para sumar fracciones, puede ser útil para otra cosa. Veamos, veamos... 1/2 es 0.5, 1/3 es 0.333 aproximadamente, 2/5 es 0.4. El resultado de la operación me ha dado un número que está comprendido entre los dos números originales. ¿Será cierto siempre?

Probemos otro ejemplo: 1/4 y 3/5. 1/4 es 0.25, 3/5 es 0.6, si sumamos numerador con numerador y denominador con denominador, obtenemos 4/9, que es 0.444 aproximadamente. En efecto, el resultado de la falsa suma nos vuelve a dar un número comprendido entre los dos primeros.

Con ayuda de la notación matemática es fácil dar una demostración de que esto siempre ocurre así. La he realizado con el editor de ecuaciones del Word y la he guardado como imagen gif. Aquí os la presento:

Entonces, esta forma de operar con las fracciones no es del todo inútil. Nos puede servir muy bien para encontrar números intermedios entre otros dos.

Si tenemos dos números fraccionarios, uno menor que otro, siempre podemos encontrar un número comprendido entre ellos dos. En realidad podemos encontrar muchos, infinitos. La forma tradicional de encontrar un número comprendido entre dos números conocidos era hacer la media aritmética: se suman y se divide por dos. Así, entre 1/3 y 1/2, sumamos (hay que saber sumar fracciones bien) y obtenemos 5/6, y luego dividimos por 2 y obtenemos 5/12. Este número es la media aritmética entre 1/3 y 1/2 y, por tanto, está comprendido entre los dos. Pero 2/5, obtenido con el falso método de sumar las fracciones, es facilísimo de calcular, no es la media aritmética de 1/3 y 1/2, pero sí está comprendido entre los dos.

Otro ejemplo: encontrar un número comprendido entre 61/89 y 29/42. Hacer la media aritmética entre estos dos números es una tarea laboriosa, porque los denominadores no son sencillos. Pero con nuestro método encontrar ese número que sea mayor que 61/89 y menor que 29/42 es inmediato: sumamos numerador con numerador y denominador con denominador y obtenemos 90/131, que puede ser una solución.

Lo que hemos tratado en este artículo nos lleva a concluir que las equivocaciones o los métodos que no funcionan, no deben ser rechazados irreflexivamente. Muchas veces un error conduce a descubrimientos inesperados y a utilidades sorprendentes. Fleming descubrió la penicilina cuando se le contaminó por casualidad un cultivo bacteriano con un hongo microscópico, y las hojitas Post It nacieron gracias al uso diferente de un pegamento que no salió como se esperaba.

Los Triángulos Isósceles del Sol

Cuaderno de bitácora: tuvimos la oportunidad hace varios meses de visitar las tierras de los Mayas en nuestro periplo por los Matemares. Uno de los sitios por donde pasamos fue Chichén Itzá, la ciudad maya, cuyo monumento más importante es la pirámide de Kukulcán, llamada el Castillo por los descubridores españoles.

La pirámide de Chichén Itzá es un prodigio de la arquitectura y el arte de los antiguos Mayas. Es un monumento hecho con sabiduría y profundos conocimientos matemáticos y astronómicos. Necesitamos la inquietud de los investigadores para estudiar construcciones de este tipo, y así descubrir sus muchos secretos.

Uno de esos secretos que la pirámide guarda es lo que los antiguos Mayas llamaban el descenso de Kukulcán a la Tierra. Los días de los equinoccios de primavera y otoño, 21 de marzo y 21 de septiembre respectivamente, se produce un fenómeno que se está haciendo cada vez más popular. El Sol, en el atardecer de estos días, sobre las 3 de la tarde, hora local, "proyecta en la balaustrada del lado noroeste del Castillo siete triángulos de luz que se van integrando poco a poco de arriba hacia abajo, hasta formar la silueta perfecta de una enorme serpiente que termina al tocar la gran cabeza del Dios Kukulcán en la base de la pirámide" [extraído de la página Yucatán Mágico].

El fenómeno dura pocos instantes, pues casi de inmediato la posición del Sol varía y la balaustrada queda totalmente en sombras. Pero durante esos momentos se dibujan siete triángulos isósceles de luz sobre el lateral de la escalera, siete triángulos que se combinan perfectamente con la cabeza del Dios-serpiente Kukulcán, en la parte inferior de la pirámide. Es muy significativo que esos triángulos semejen el cuerpo de luz de Kukulcán, ondulado como el de las serpientes, o recordando las escamas romboidales de la piel de algunos ofidios.

También es muy significativo, para aquellos que aprecian el simbolismo de los números, que aunque las terrazas o plataformas de la pirámide o Castillo son nueve, los triángulos que aparecen son exactamente siete. Cada triángulo se forma de la sombra del ángulo entre dos plataformas contiguas sobre la pared de la balaustrada; al haber nueve plataformas deberían aparecer ocho triángulos, pero el octavo, el más inferior, se pierde en el suelo debido a la inclinación de los rayos solares, y quedan exactamente siete, confiriendo un significado profundamente metafísico al fenómeno, porque el siete es un número muy simbólico.

En relación a la forma geométrica del Castillo de Chichén Itzá, se trata de una pirámide escalonada, de base cuadrada de 55,5 metros de lado, y su altura, incluyendo el templo de su cúspide, es de 30 metros. Es por tanto una pirámide relativamente pequeña, si la comparamos con la gran pirámide de Keops, de 147 metros de altura originalmente, o la pirámide del Sol en Teotihuacán, de 65 metros de altura, pero que tiene una base casi tan ancha como la de Keops, con unos 225 metros de lado.

Otro hecho numérico interesante es que las escalinatas que suben a la cúspide tienen cada una 91 escalones exactamente, que coincide con el número de días que tiene una estación del año. Como hay cuatro escalinatas, una en cada cara de la pirámide, hace un total de 91 · 4 = 364 escalones. Si le sumamos el suelo o el templo que hay en la cúspide obtendríamos el total de 365, coincidiendo con los días que tiene un año.

En las culturas antiguas era muy importante el conocimiento y el uso del calendario, ya de forma práctica, como ayuda para la agricultura, ya de forma ceremonial, relacionada con sus religiones. No es de extrañar que los mayas introdujeran el número de días del año, aproximadamente, en sus monumentos principales, y en relación a esto me ha venido a la memoria el antiguo juego chino del wei ch'i, conocido en la actualidad por go, que se juega en un tablero con una cuadrícula de 19 por 19 intersecciones, haciendo un total de 361 intersecciones o puntos de territorio. En el tablero de go también se quiso representar desde la antigüedad el calendario anual, como una conexión de la vida cotidiana del ser humano con los movimientos de los astros en el universo.

Todos estos números y cantidades, expresadas a través de los monumentos arqueológicos antiguos, tiene, guste o no guste, hondas repercusiones en el lado sensible e intuitivo de la humanidad, toca resortes profundos del origen de los mitos, y atrae la atención de incontables almas inquietas. No es de extrañar que Chichén Itzá, por todo esto y por mucho más, haya sido elegida como una de las Siete Nuevas Maravillas del Mundo.

Números Astronómicos (2): El sistema solar a escala

Hace varios años, en una cierta playa perdida, a orilla de los Matemares, estuvimos un grupo de navegantes estudiando y comentando las distancias a las que se encuentran los cuerpos del sistema solar. De pie sobre la arena nos dispusimos en línea recta, cada uno de nosotros representando uno de los planetas, y tratamos de que las distancias entre unos y otros fuera a escala con la realidad.

El primero de nosotros era el Sol, y en sus manos tenía un balón de fútbol. Luego cada uno tomó una piedrecita de la playa, de mayor o menor tamaño; esa piedrecita iba a representar el planeta correspondiente. Después nos fuimos alejando para irnos colocando de forma que la escala fuera la correcta para la distancia entre los planetas del sistema solar y el Sol.

Vamos repetir el experimento de forma ideal, tranquilamente sentados frente al ordenador, y para ello necesitamos hacer cuentas.

No hay nada como la red para obtener casi al instante los datos necesarios. Por ejemplo, en el reglamento de fútbol de la FIFA, página 15, encontramos que el balón de fútbol debe tener una circunferencia comprendida entre 68 y 70 centímetros. Lo dejamos en 69 centímetros, y dividimos por pi, obteniendo que el diámetro de un balón de fútbol son unos 22 centímetros aproximadamente.

Pasamos ahora a buscar los datos sobre el Sol, y encontramos que el radio del Sol es de 695.000 kilómetros, y por tanto su diámetro vale 1.390.000 kilómetros. Así ya podemos conocer el cambio de escala entre un balón de fútbol y el Sol. Pasamos todo a metros, dividimos el diámetro del Sol entre el del balón, y obtenemos que la escala es aproximadamente 1 : 6.320.000.000.

¿Qué tamaño tendría la Tierra en esta escala y a qué distancia se encontraría de nuestro balón-Sol?

La Tierra tiene un diámetro ecuatorial de 12.756 kilómetros. Pasándola a nuestra escala, obtenemos que su diámetro sería de 0.002 metros, es decir, 2 milímetros. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sólo tendría un diámetro de dos milímetros, como un grano de arroz partido por la mitad. La distancia de la Tierra al Sol es de 149.600.000 kilómetros, pasados a nuestra escala tenemos unos 23 metros y medio. Si el Sol fuera un balón de fútbol, la Tierra sería medio grano de arroz a 23 metros y medio de distancia.

¿Cómo sería la Luna en esta escala? Tamaño de la Luna: 3.476 kilómetros de diámetro. Distancia Tierra-Luna: 384.000 km. Pasando todo a nuestra escala obtenemos el diámetro: 0.0005 metros, o medio milímetro, y la distancia, 0.06 metros, o 6 centímetros. La Luna sería un grano de arena de medio milímetro de diámetro moviéndose en una órbita en torno a la Tierra de 6 centímetros de distancia. La Tierra y la Luna, por tanto, cabrían en la palma de la mano.

Comparando los tamaños y las distancias al Sol de los demás planetas podríamos hacer una lista sencilla:

Mercurio: diámetro 4.880 km → 0.7 mm. Distancia al Sol: 57.910.000 km → 9 m.

Venus: diámetro 12.104 km → 2 mm. Distancia al Sol: 108.200.000 km → 17 m.

Marte: diámetro 6.794 km → 1 mm. Distancia al Sol: 227.940.000 km → 36 m.

Júpiter: diámetro 142.984 km → 2.3 cm. Distancia al Sol: 778.330.000 km → 123 m.

Saturno: diámetro 120.572 km → 1.9 cm. Distancia al Sol: 1.429.400.000 km → 226 m.

Urano: diámetro 51.118 km → 8 mm. Distancia al Sol: 2.870.990.000 km → 454 m.

Neptuno: diámetro 49.492 km → 8 mm. Distancia al Sol: 4.504.300.000 km → 713 m.

Una vez que tenemos los tamaños y las distancias a escala, podemos hacer esta representación del sistema solar. Aprovechando que es verano, se hará en una playa larga y recta, tal y como lo hicimos la primera vez.

Una persona se colocará en un lugar de partida, con un balón de fútbol, representando el Sol.

La segunda persona tomará un grano de arena, que representa a Mercurio, y se situará a 9 metros de distancia de la primera persona. Nueve metros son nueve pasos largos o nueve zancadas.

La tercera persona tomará una piedrecita del tamaño de medio grano de arroz, representando a Venus, y se colocará a 17 metros de la que representa al Sol, es decir, 8 metros más lejos que la segunda.

Continuaremos con la Tierra, medio grano de arroz 6 metros más lejos.

Luego Marte, un grano de arena 13 metros más lejos todavía.

Cuando nos toque representar a Júpiter tomaremos una piedra del tamaño de una canica y nos iremos 87 metros más lejos de Marte; ya estamos a 123 metros del Sol.

Saturno, Urano y Neptuno representan unos buenos paseos. Saturno es una piedra del tamaño de una canica ligeramente más pequeña que la de Júpiter, y a 103 metros de éste, en total 226 metros del Sol (el largo de dos campos de fútbol uno a continuación del otro).

Urano es una piedrecita del tamaño de un guisante, a 228 metros de donde se quedó Saturno, 454 metros en total del Sol.

Neptuno es otra piedrecita como un guisante, igual que Urano, y a 259 metros de éste, 713 metros de distancia del Sol.

Me consta por experiencia propia que cuando un grupo de personas se pone a realizar esta representación a escala del sistema solar queda muy sorprendido, porque no se imaginan que el sistema solar sea tan grande en comparación a los planetas, que estos estén tan alejados unos de otros, y que sus tamaños sean tan pequeños respecto al Sol. Es un pasatiempo entretenido y muy instructivo, y lo recomiendo para este verano. Así podremos ir desarrollando nuestra imaginación para empezar a comprender el tamaño, gigantesco, del Universo.

El Libro Matemático de Dios

En la biblioteca matemática de nuestro barco escuela no hay muchos libros, pero uno de ellos es muy interesante. Se trata de El Curioso Mundo de las Matemáticas, de David Wells, Gedisa Editorial. Es una antología de anécdotas e historias del mundo de las matemáticas, una fuente muy rica de posibles viajes y destinos para la matenavegación.

Extraído de ese libro, copio una cita del matemático Paul Erdös, en la que describe el Libro Matemático de Dios:

Cuando contemplo una demostración realmente bella, suelo decir que proviene directamente del Libro... Dios posee un libro eterno que contiene todos los teoremas con las correspondientes y más perfectas demostraciones, de modo que, cuando decide ser generoso [con los matemáticos], les enseña el Libro durante unos instantes. Y aunque no creyerais en Dios, seguro que afirmaríais que el Libro existe.

Como matenavegante, comparto con Paul Erdös la creencia en la existencia del Libro. Considero que las matemáticas pueden existir más allá del pensamiento del ser humano. Las matemáticas no son una creación humana, sino un descubrimiento de algo que está ahí, más allá de nosotros, quizás escritas de antemano en el Libro. Las matemáticas deben formar un vasto conjunto de leyes universales que rigen, desde otro plano diferente al plano físico tridimensional, todo el Cosmos, y que son independientes del Universo físico que conocemos.

Ramanujan es otro matemático famoso que, al igual que Erdös, consideraba que las matemáticas eran muchas veces producto de una inspiración divina. Este matemático de origen indio era uno de los pocos que parecía tener el privilegio de leer el Libro. Afirmaba que en ocasiones había soñado con una Divinidad que le mostraba un teorema o un resultado desconocido y maravilloso; cuando Ramanujan despertaba del sueño, lograba retener dicho teorema y se apresuraba a plasmarlo en papel.

El Libro Matemático de Dios puede ser leído y entendido por todos los seres inteligentes de todo el Universo. Afirman muchos sabios que hay sólo un auténtico idioma verdaderamente universal: las matemáticas... Los científicos pioneros que se han atrevido seriamente a plantear una posible comunicación con seres de otros mundos, creen que el primer paso para establecer la comunicación debe ser a través de claves matemáticas. Si queremos comunicarnos con otros seres inteligentes, distantes de nosotros varios años-luz, ¿cómo nos podemos entender? Si esos seres nos mandan un mensaje, ¿cómo podemos descifrarlo?

En nuestro propio planeta, culturas antiguas desaparecidas hace cientos y miles de años han dejado mensajes escritos en sus monumentos, como los Egipcios o los Mayas. A pesar de ser culturas terrestres, es enormemente difícil descifrar sus lenguas. La lengua egipcia fue descifrada gracias al descubrimiento de la piedra de Rosetta y a lo que se sabía de la historia de Egipto a través de los historiadores griegos. La lengua maya está todavía en proceso de descifrar, y el trabajo de los linguistas se apoya especialmente en las crónicas de los religiosos españoles y en el maya que todavía se habla en la actualidad.

Sin embargo, los sistemas matemáticos egipcio y maya son perfectamente conocidos, y si mostramos un papiro egipcio o maya donde aparezcan números o cantidades a una persona cualquiera, es muy probable que dicha persona sea capaz de identificar qué símbolos representan los números, aunque no tenga conocimientos sobre ninguna de estas culturas.

La conexión básica que la humanidad puede tener con cualquier otra raza de seres inteligentes del Universo es la conexión matemática. Sólo a través de las matemáticas podemos entendernos con toda seguridad.

En relación a todo esto, conviene mencionar que uno de los científicos que más ha trabajado y especulado sobre la posible comunicación con mundos lejanos basada en las matemáticas es Carl Sagan, quien escribió una novela titulada Contacto. Sobre este libro se basa la película Contact, protagonizada por Jodie Foster y Matthew McConaughey y dirigida por Robert Zemeckis.

Regresando al Libro, me gustaría mencionar aquí algo personal. Cuando era pequeño siempre sentí una atracción especial por los números, y mi familia me decía que me parecía bastante a mi bisabuelo. No sé mucho de él. Perteneció al ejército, era carabinero, y estuvo destinado en el pueblo costero de Carboneras (Almería, España). Entre sus responsabilidades estaba la de patrullar las playas para evitar el contrabando.

A pesar de no haber podido estudiar una carrera superior ni dedicarse a las matemáticas, su afición eran los números. Investigaba por si mismo en sus ratos libres, rellenando cuadernos enteros de cuentas largas y enrevesadas. Con los años creyó haber descubierto, por sí solo, lo que denominó como la cuadratura del círculo.

En su momento, hace ya más de veinte años, tuve en mis manos un cuaderno escrito de su puño y letra donde trataba de probar que había descubierto eso que él llamaba la cuadratura del círculo. El cuaderno pasó luego a manos de otro miembro de mi familia, pero antes pude hacerle fotocopias. Sin embargo, lo que él llamaba cuadratura no era sino una aplicación del teorema chino del resto.

La cuadratura del círculo es un problema geométrico clásico que ya plantearon los griegos: Si tenemos un círculo o circunferencia, con un radio determinado, ¿es posible construir un cuadrado cuyo perímetro coincida con la longitud de la circunferencia, utilizando solamente regla y compás? Este problema geométrico tiene una traducción al mundo de las ecuaciones, y tendría solución si el número pi pudiera obtenerse como solución de una ecuación con coeficientes racionales. Si el número pi cumpliera esta propiedad se diría que es algebraico. Sin embargo, en el año 1882, el matemático aleman Ferdinand Lindemann demostró que pi no era algebraico, sino trascendente, es decir, que no se puede obtener como solución de una ecuación con coeficientes racionales. Como consecuencia, quedó demostrado que la cuadratura del círculo era imposible.

No he tenido ocasión de estudiar a fondo el cuaderno de mi bisabuelo todavía, tan solo lo he leído por encima, pero creo que no tiene nada nuevo ni misterioso para un navegante curtido en los matemares, ni nada relacionado con la auténtica cuadratura del círculo. Sin embargo, a pesar de todo, mi bisabuelo estaba dominado por una pasión poco común por las matemáticas. En su época y en su posición, no tenía acceso al conocimiento matemático avanzado, tan sólo conocía las nociones aritméticas básicas. Aun así, sin ayuda de ninguna clase, realizó descubrimientos que para él fueron nuevos y maravillosos. Estoy convencido de que mi bisabuelo, por su cuenta, pudo leer el Libro, pudo disfrutar entreviendo, a lo largo de los años, algunas páginas del misterioso Libro Matemático de Dios.

Perder y salir ganando

Cuaderno de bitácora: he estado leyendo el número de este mes de la revista Speak Up, y me he encontrado en su sección de chistes uno muy gracioso:

Un científico coge un tren hacia Nueva York. En su cabina también hay un campesino pobre. Para pasar el rato, el científico decide jugar a un juego: 

"Le voy a hacer una pregunta, y si no la sabe contestar correctamente, me tiene que pagar un dólar. Entonces usted me hace una pregunta, y si no la sé contestar le pagaré diez dólares. Usted empieza." 

El campesino piensa durante un momento. "Ya sé. ¿Qué tiene tres patas, tarda 10 horas en trepar por una palmera y 10 segundos en regresar abajo?" El científico piensa durante mucho tiempo en la pregunta. Finalmente, el viaje en tren se acaba. Mientras van entrando en la estación, el científico saca 10 dólares y se los da al campesino. 

"No lo sé. ¿Qué tiene tres patas, tarda 10 horas en subir por una palmera y 10 segundos en bajarla?" 

El campesino toma los 10 dólares y se los mete en el bolsillo. Entonces saca un dólar y se lo da al científico. 

"No lo sé."

Existe una curiosa apuesta que se le puede hacer a cualquiera: le decimos a alguien te apuesto 10 euros a que si tú me das un billete de 20 euros, yo te doy uno de 50. Si ese alguien acepta la apuesta, entonces nos dará el billete de 20 euros, esperando que nosotros le demos uno de 50. Pero nosotros nos quedamos el billete de 20, sacamos uno de 10 y se lo damos, diciéndole toma, aquí tienes, he perdido la apuesta. Sí, hemos perdido la apuesta adrede, porque así salimos ganando 10 euros, y no tenemos que desembolsar el billete de 50.

En algunas ocasiones, y aunque parezca paradójico, es conveniente perder para salir ganando.