31.12.09

Sobre el go (2)

Cuaderno de bitácora: en abril de 2008, tuve la oportunidad de impartir un pequeño curso de go de tres días para profesores en el Centro de Profesores (CEP) de Montilla, Córdoba. Para ilustrar mis clases, realicé una presentación en diapositivas, dividida en tres partes, y recientemente, revisando los artículos que tengo en borrador y que todavía no he terminado para publicar en el blog, se me ha ocurrido incluir esas presentaciones aquí, para todo aquél que quiera contemplarlas.
Las presentaciones son amplias, 233 diapositivas entre las tres, y en ellas se explican los pasos básicos para aprender a jugar al go, pero además se habla ampliamente de los beneficios del go, del material que se emplea en las partidas, de la historia y la filosofía, de los niveles de juego, de la etiqueta durante el juego, y de las matemáticas en el go.
Las diapositivas necesitaron muchas horas de trabajo. Contienen muchas imágenes, gran parte de ellas son de jugadas y posiciones en el tablero, pero muchas otras, obtenidas de aquí y de allá en Internet, acompañan a las explicaciones para ilustrarlas. El texto se ha tomado, en gran parte, traduciendo el contenido de la página de la Nihon Ki-in, la Asociación Japonesa de Profesionales de Go. Algunas partes del texto han sido creación mía, especialmente las de la filosofía del go y las matemáticas en el go.
Estas diapositivas formaron parte de aquel curso de tres días, que impartí y por el que recibí un pago en su momento. Hice la presentación porque me pareció una forma interesante de enseñar la parte teórica, nadie me encargó, ni por supuesto compró la presentación, sino que fue un material elaborado voluntariamente por mi persona. Considero que Internet debe ser un medio en el que se pueda compartir información, y a través del cual podamos acceder al trabajo de unos y otros, y si ese acceso es gratuito, pues mejor que mejor. Si alguien desea usar esta proyección con fines educativos, no lucrativos, desde este momento tiene mi permiso para hacerlo, pero en cualquier caso debe citar la procedencia de estas diapositivas y a su autor. Gracias.











Nota: Para poder subirlas al Google docs he tenido que partir las dos primeras presentaciones en dos trozos cada una, por lo que al final han quedado cinco partes. Además, al subirlas al Google docs han perdido las animaciones que contenían, así como el tipo de letra, y algunas de las ilustraciones eran gifs animados que también han perdido la animación. De todas formas, son sólo detalles que no impiden ver correctamente las diapositivas.

Además de las presentaciones, también redacté un documento especificando un poco más mi visión de la relación entre las matemáticas y el go. Este documento está pensado para motivar a los profesores de ciencias a que aprendan a jugar al go y se lo enseñen a sus alumnos y alumnas. A continuación incluyo el contenido de ese documento:

APLICACIONES MATEMÁTICAS DEL GO
En Occidente, de forma natural, el Go se ha relacionado con lo matemático. Presenta diversos aspectos concretos en este sentido:
- Es un juego de estrategia, sometido a reglas lógicas muy concretas. Las matemáticas siempre se ha interesado por este tipo de juegos.
- Presenta un sistema de reglas muy sencillas, similar al conjunto de axiomas que forman la base de cada rama matemática.
- Este conjunto de reglas de carácter axiomático produce un juego de estrategia profunda y de complejidad extrema, enmarcado en un sistema finito, con una riqueza que no tiene rival entre otros juegos de reglas tan sencillas.
- Todo esto favorece que el Go encaje y coincida mejor en la mente de un matemático, en el que elementos abstractos y carentes de significado interrelacionados con leyes simples adquieren una dimensión orgánica y creadora de teoremas y resultados útiles e inesperados.
El juego en sí, lo mismo que el ajedrez, y otros juegos de estrategia puramente lógicos, en los que no interviene el azar, activa y desarrolla en la mente del que los practica una serie de habilidades. Pero el Go tiene unas características añadidas:
- Desarrolla la atención y la concentración.
- A partir de elementos básicos, líneas y puntos (piedras), el jugador aprende a reconocer figuras geométricas, grupos, interdependencia de los grupos, relaciones posicionales y todo tipo de influencias que no se ven en el tablero, sino que sólo están, de forma abstracta, en su mente.
- El Go constituye un ejercicio mental en el que se practican muchas habilidades aritméticas básicas. Por ejemplo contar, sumar, restar, multiplicar, organizar en figuras geométricas, traducir áreas a cantidades numéricas, reorganizar áreas de forma adecuada en rectángulos, etc. Conforme el jugador va progresando en su juego se da cuenta de que estos procesos matemáticos deben ser mejorados y deben adquirir una gran precisión y rapidez para poder calcular las posibilidades de éxito o fracaso en la partida. Es un ejercicio entretenido e interesante mantener un conteo mental de los territorios obtenidos y de los que se pueden obtener de forma previsible.
- También se ejercita la visión e imaginación lógica de las posibilidades de las próximas jugadas, posibilidades que también son evaluables y cuantificables mediante sumas, restas, etc.
El material de Go, independientemente del juego, es muy flexible y polivalente: el tablero se puede acomodar de forma inmediata a un sistema de coordenadas y las piedras a puntos para delimitar formas geométricas planas. También puede ser usado como ábaco, y en este campo sus posibilidades son innumerables y sólo dependen de la imaginación del educador. Además existen una gran cantidad de variantes del Go que se pueden explorar con fines educativos (Go a tres o cuatro colores, Go con reglas ligeramente modificadas, etc.)
En relación al alumnado, introducir en el aula o fuera de ella este tipo de juegos y actividades es siempre muy motivante. El Go tiene el beneficio añadido de que es ahora mismo muy desconocido, por lo que todos, sin excepción, pueden empezar a conocerlo desde cero, es decir, todos parten del mismo punto, sin que nadie tenga una ventaja inicial.
Rodear las matemáticas de actividades lúdicas y entretenidas como pasatiempos, juegos, etc., ayudan a la materia a ir perdiendo poco a poco la fama de aridez y dificultad que tradicionalmente ha tenido y logra acercarla a parte del alumnado que en principio no es atraído por la asignatura.
Nuestra tarea puede ser acercar a los alumnos este tipo de elementos: el Go, el cubo de Rubik, los puzles, los pasatiempos, etc… El alumnado no está todavía en capacidad de apreciar la profunda relación que tienen con las matemáticas, sólo el tiempo les irá descubriendo, a cada uno en su medida, la riqueza y belleza de todo este mundo de entretenimiento matemático.

30.12.09

Los Embajadores de Holbein

Recuperamos otro artículo que ya apareció en doDK; para esta ocasión lo hemos actualizado y ampliado considerablemente.

Cuando estaba en el colegio, en cierto libro de texto que no logro recordar, encontré una foto del cuadro Los Embajadores, de Hans Holbein. En aquella época la pintura, como tantas otras, habría pasado desapercibida para mis ojos infantiles, si no hubiera sido por la extraña forma alargada que destacaba en la parte inferior del cuadro, forma que no encajaba con ninguna perspectiva y que me resultaba inquietante e incomprensible. Aunque los recuerdos se me mezclan con lo que luego he aprendido del cuadro, estoy dispuesto a asegurar que no tardé demasiado en darme cuenta de que para poder comprender la ilógica forma alargada se necesitaba observarla desde el correcto punto de vista: había que inclinar el libro y mirarlo casi de perfil, y entonces la forma perdía su longitud y se comprimía hasta verse el descifrado dibujo de una calavera.



Puede parecer sorprendente que a un niño se le ocurra por sí solo la forma correcta de mirar el cuadro para percibir la figura de la calavera. Pero antes de este hallazgo, ya me había enfrentado el pasatiempo de una revista en el que un cierto letrero había sido estirado verticalmente hasta convertirlo en ilegible. Tuve que consultar la solición para descubrir que la forma de poder leerlo pasaba por inclinar la página donde se encontraba impreso el letrero para que la deformación se atenuara lo suficiente hasta poder distinguir las letras de qué se componía. Cuando vi el cuadro de Los Embajadores, se me vino a la mente aquel pasatiempo y le apliqué el mismo método para descifrar la figura, con éxito total.

Veamos, por ejemplo, la siguiente figura:

Podemos comprobar que, aunque parecen letras, resultan difíciles de leer. En realidad, es la palabra HOLBEIN, escrita en mayúsculas con tipo de letra Arial, y deformada y estirada en sentido vertical. Si imprimimos la figura en un papel y miramos el papel inclinado, colocando nuestros ojos casi a la altura del borde inferior, entonces la deformación se atenúa, y la palabra aparece clara y legible a nuestra vista.

El cuadro de Los Embajadores fue realizado en 1533, en pleno Renacimiento, por Hans Holbein el Joven, y representa a Jean de Dinteville a la izquierda, embajador de Francia en Inglaterra, y a su amigo Georges de Selve, obispo de Lavaur, que ocasionalmente también ejerció el cargo de embajador. Si se quiere estudiar a fondo todo lo que aparece en el cuadro se puede consultar la página correspondiente de la Wikipedia, por ejemplo, donde se explican muchos detalles del mismo.

Además de ser una obra maestra de la pintura, está lleno de símbolos relacionados de una forma o de otra con las matemáticas. Cito a la wikipedia:
Ambos hombres [los embajadores], que observan al espectador de la obra, están acodados sobre un mueble con dos estantes sobre el que hay dispuestos varios objetos relacionados con el quadrivium, las cuatro ciencias matemáticas entre las siete artes liberales: la aritmética, la geometría, la música y la astronomía. En el estante superior puede verse una esfera celeste, objetos de medición del tiempo y un libro, dispuestos sobre una alfombra roja con complicados motivos geométricos. En el estante inferior hay un globo terráqueo, dos libros [uno de ellos de aritmética, escrito por Peter Apian, matemático y astrónomo de la universidad de Ingolstadt], un laúd y cuatro flautas en un estuche... El suelo está pavimentado con círculos y cuadrados, destacándose una forma difícilmente interpretable, pero que salta a la vista en tanto que parece que se halle fuera del espacio de la pintura; se ha llamado a menudo el hueso de sepia.
Más abajo, se sigue hablando de dicho hueso:
La extraña figura en primer plano, a veces llamada hueso de sepia, intrigó durante mucho tiempo a los analistas del cuadro. Nuestro afilado ojo de hoy en día, más habituado a la lectura de imágenes, nos hace adivinar que se trata de un cráneo muy deformado por una anamorfosis, aunque es probable que no hiciéramos una lectura tan inmediata.

Una anamorfosis es "una deformación reversible de una imagen producida mediante un procedimiento óptico (como por ejemplo utilizando un espejo curvo), o a través de un procedimiento matemático. Es un efecto perspectivo utilizado en arte para forzar al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara." Al parecer, la primera persona que hizo notar esta anamorfosis en el cuadro de Los Embajadores fue Jurgis Baltrusaitis, un historiador del arte del siglo XX.

Según los estudiosos del cuadro, el hecho de que Holbein haya colocado esa calavera deformada en la parte inferior tendría varios significados. Por un lado, Holbein era alemán, y en alemán hohle bein significa "hueso hueco", con lo que la calavera sería una especie de firma. Además, al pintar la calavera humana en contraste con el tema principal de la pintura, el retrato de dos hombres jóvenes, importantes y ricos, hacen del cuadro una vanidad "una obra que simboliza que lo que es importante en la tierra no lo es en el reino de los cielos, que lo que se ha hecho en nuestra vida, la muerte lo deshace". ¿Por qué Holbein no lo dibuja en la perspectiva habitual? ¿Por qué lo deforma hasta hacerlo casi irreconocible?

Si recortamos y aislamos el citado hueso, en blanco y negro para que sea más sencillo de reconocer:



[embajadores2.jpg]

Y luego deformamos el rectángulo hasta convertirlo en un estrecho romboide, ya se puede apreciar la forma de la calavera:



Esto es sencillo de realizar con ayuda de la informática y las aplicaciones que tratan y modifican imágenes (como la famosa Photoshop). Pero si no disponemos de la informática, necesitamos mirar el cuadro no de frente, sino de perfil, pegados a él. Así podemos empezar a comprender la intención del autor: el observador del cuadro, buscando el significado de dicha figura, tendrá que dejar su lugar de contemplación delante de la pintura y acercarse a la tela, y por último dirigir su mirada a la calavera desde la esquina inferior izquierda. El que observa el cuadro descubre que ha tenido que dejar su posición y aproximarse hasta casi meterse dentro de la pintura; se ha convertido en parte del cuadro, se encuentra en una esquina del mismo, y la calavera lo mira desde arriba, mientras el que la observa puede meditar sobre el sentido de la vida y de la muerte.


Otra forma que tenemos de poder ver la calavera es tomar un espejo curvo, cilíndrico o esférico, acercarlo a la figura, y observar su reflejo sobre la superficie curva del espejo. Una cuchara metálica puede servir. Cuando compré el cubo de Rubik que tengo, la caja donde venía presentado traía en la parte trasera dos cartulinas que hacían de espejos, y que conservé. Con una de esas cartulinas especulares, enrollada en forma de cilindro y orientada en el mismo sentido que el del hueso, también pude ver la calavera y enseñársela, de paso, a mis compañeros oficiales del Barco Escuela y a algunos grumetes.

Notas: insisto en recomendar que se visiten las páginas de la wikipedia relacionadas con la anamorfosis, así como otra página que explica lo que es un trampantojo,  y especialmente la web del increíble artista urbano Julian Beever. Esas páginas están relacionadas con el tema de hoy, y para el que no las conozca resultarán muy sorprendentes.

En relación a esto de las anamorfosis, están mucho más cerca de lo que nosotros creemos. Desde hace un tiempo, quizás varios años, es costumbre que en algunos encuentros deportivos aparezcan letreros a los que se les ha aplicado una anamorfosis. No es difícil contemplar en los campos de fútbol, por ejemplo, letreros tras la portería que están impresos para que desde la perspectiva de las cámaras de televisión que retransmiten el encuentro se vean más claros para el telespectador. Obsérvese, por ejemplo, la siguiente foto [tomada de la galería de missha]:


Si nos fijamos en la parte inferior, vemos un letrero deformado:


Desde la perspectiva en la que está tomada la foto, este letrero es casi ilegible, pero si nos situamos en otro lugar de las gradas, a la izquierda, donde están las tribunas y las cámaras de televisión, la perspectiva es la correcta y el letrero se puede leer perfectamente, como si estuviera frente a los ojos del que lo contempla.

25.12.09

[El Problema de la Semana] Los cuatro cuatros

¡Feliz Navidad a todos!
Recuperamos aquí otro problema clásico:

El problema de los cuatro cuatros consiste en obtener todos los números que se puedan con cuatro cuatros (ni uno más, ni uno menos) y las reglas de las operaciones aritméticas básicas. Concretando más, debemos encontrar la manera de escribir todos los números del cero al diez utilizando cuatro cuatros, los signos de sumar, restar, multiplicar y dividir, y los paréntesis.

Hay que tener en cuenta que para cada número puede haber varias formas de hacerlo. Como ejemplo, damos la obtención del cero:

0 = 4 + 4 − 4 − 4; o bien, 0 = 44 − 44
1 = ...
2 = ...
etc.

A continuación una imagen de relleno, y después, la solución. ¡No siga leyendo si quiere intentar resolver el problema por sí mismo!



Solución:

Hay varias posibilidades. Una de ellas podría ser:

1 = 44 : 44
2 = 4 : 4 + 4 : 4
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = (4  4) · 4 + 4
5 = (4 · 4 + 4) : 4
6 = (4 + 4) : 4 + 4
7 = 4 + 4  4 : 4
8 = 4 + (4 · 4) : 4
9 = 4 + 4 + 4 : 4
10 = (44  4) : 4

Notas: cuando intenté por primera vez resolver el problema, la que me resultaba más difícil de encontrar era la combinación para el 10, hasta que me di cuenta de que podía "juntar" dos cuatros para formar el número 44. En el fondo, aunque en el enunciado no se dice explícitamente que se pueda hacer esto, ni tampoco se prohíbe, esta opción de contar con el 44 me ha parecido siempre un poco tramposa, lo que le da más chispa al problema.

Aparte de los números del cero al diez, es posible seguir buscando combinaciones para obtener el once, el doce, etc. El problema se extiende de forma natural a los siguientes números; podemos incluso preguntarnos cuál es el límite, qué números son los que ya no hay forma de sacarlos a partir de cuatro cuatros, y también echar mano de operaciones aritméticas un poco más avanzadas, como las potencias y las raíces, para ampliar el abanico de posibilidades.

Existe un chiste tonto que me contaron cuando era pequeño, que dice así: llaman por teléfono, "¡Riiinnng, riiinnng!", "¿Sí, dígame?", "¿Es ahí el número 44 44 44?", "Sí, aquí es", "Pues, detenido por cuatrero".

Un cuatrero es un ladrón de caballos. Los que nos hemos educado viendo de pequeños películas del oeste, los westerns, sabemos que ser cuatrero era uno de los delitos más perseguidos por los sheriffs, y se castigaban automáticamente con la horca. Como la palabra "cuatrero" parece venir de "cuatro", y los cuatreros son unos personajes de los westerns, por eso se nos ha ocurrido ilustrar el problema de hoy con el cartel de Río Bravo, uno de los mejores westerns de todos los tiempos.

18.12.09

[El Problema de la Semana] Cuadrados correlativos

Aquí tenemos otro problema de los que en su momento planteamos a los grumetes y luego publicamos en doDK:

Obsérvese las siguientes igualdades (se pueden comprobar que son ciertas):
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
Como ya se habrá dado cuenta, en cada igualdad los números van correlativos. ¿Sería capaz de encontrar otra igualdad como las anteriores pero con cinco sumandos en el primer término y cuatro en el segundo? Es decir, buscar una expresión:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = f2 + g2 + h2 + i2
siendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, números enteros consecutivos.

Abajo tenemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡cuidado! ¡la solución!




Los números buscados son:
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
Este problema de los cuadrados correlativos se puede resolver por tanteo, pero también se puede resolver planteando una ecuación: llamamos x − 4, x − 3, x − 2, x − 1, x a los números a la izquierda del igual, y x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 a los que están a la derecha, y tendríamos la ecuación de segundo grado:
(x − 4)2 + (x − 3)2 + (x − 2)2 + (x − 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2
Si desarrollamos los binomios y resolvemos la ecuación, nos encontramos con la solución x = 40, de la cual se deducen los nueve números consecutivos, pero también aparece otra, la x = 0, con lo cual, además de la que tenemos arriba, también podemos contar con la igualdad:
(4)2 + (3)2 + (2)2 + (1)2 + 02 = 12 + 22 + 32 + 42
Si en el problema no se especifica que los números sean positivos, esta última solución también se debe considerar válida.

Nota: la primera de todas las igualdades, 32 + 42 = 52, es una famosa terna pitagórica. Para más detalles, leer el artículo de este blog 3 - 4 - 5.

16.12.09

La verdadera identidad de Monsieur LeBlanc

Se puede decir, sin caer en la exageración, que los conflictos bélicos que se libraron a principios del siglo XIX fueron auténticas guerras mundiales, mucho antes de la Primera y la Segunda Guerra Mundial libradas en el siglo XX. Debemos saber que las Guerras Napoleónicas involucraron a la mayoría de los países europeos, y los enfrentamientos se extendieron no sólo por toda Europa, sino por muchos otros puntos del globo terrestre, especialmente cuando esos enfrentamientos se dieron entre las flotas oceánicas de Inglaterra y Francia.

[ilustración extraída de http://www.kalipedia.com/]

Enmarcados en este clima de conflicto internacional, se encuentran los sucesos que vamos a narrar a continuación, y que forman parte de esa curiosa historia de las matemáticas que todo matenavegante culto debería conocer.

En octubre del año 1806, los ejércitos napoleónicos vencieron al ejército prusiano en la batalla de Jena, y desde ese momento, marcharon sobre Prusia con una celeridad inusitada, derrotando a las tropas prusianas que les salían al paso como si vencer en una batalla tras otra fuera un juego de niños. Entre las numerosas ciudades ocupadas por los soldados franceses se encontraba una importante capital de la Baja Sajonia: Brunswick, la ciudad natal de Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. En aquellos momentos Gauss era un hombre joven de 29 años, pero ya célebre por sus impresionantes capacidades y descubrimientos.

Entre la correspondencia que mantenía con diversos científicos de la época, Gauss se había carteado con un brillante matemático francés, Monsieur LeBlanc, con el que trataba diversos aspectos de las matemáticas puras. En 1801, cuando Gauss contaba tan solo con 24 años, había ya publicado un libro que ha llegado a ser uno de los más importantes y famosos de la historia de las matemáticas, las Disquisitiones Arithmeticae. Monsieur LeBlanc le expresó por carta a Gauss su felicitación por la publicación del libro, y también le mandó comentarios, ejercicios resueltos relacionados con el contenido y aportaciones propias, incluyendo algunas sobre el famoso teorema de Fermat. Gauss tardaba en responder aquellas cartas, absorto como estaba en su propio campo de trabajo, pero cuando las contestaba lo hacía con educación, valorando positivamente los avances de LeBlanc. Sin embargo, llegaría un día en el que iba a despertarse en Gauss una repentina y gran admiración por Monsieur LeBlanc, admiración que expresó en una carta llena de entusiasmo hacia el matemático francés. Fue el día en el que Gauss descubrió que LeBlanc no se llamaba así, y ni siquiera era un monsieur. En realidad, LeBlanc era el seudónimo de una extraordinaria mujer: Sophie Germain.

Marie-Sophie Germain ha sido una de las pocas mujeres matemáticas que han llegado a tener cierta fama en los siglos pasados. Nacida en París en 1776 (un año antes que Gauss), empezó a estudiar matemáticas a los trece años, aunque sus padres trataron de disuadirla, porque consideraban que aquella era una ocupación "reservada a los varones". Como no podía ingresar en la Universidad Politécnica de París, porque no se admitían mujeres, logró hacerse con los apuntes de las clases, estudió y trabajó por su cuenta, y adoptó una identidad masculina, la de Monsieur LeBlanc, para poder mantener correspondencia con los principales matemáticos de la época, como el francés Lagrange y el alemán Gauss.



Sin embargo, al enterarse de la invasión de Prusia por el ejército napoleónico, Sophie Germain temió que Gauss pudiera correr la misma suerte que Arquímedes. Este sabio griego, del siglo III a. de C., natural de Siracusa, tuvo una muerte particularmente desafortunada. En el año 214 a. de C. los romanos pusieron sitio a la ciudad, que finalmente sería invadida en el 212. A pesar de las órdenes de que Arquímedes no fuera dañado, un soldado romano lo asesinó cuando el sabio estaba distraído dibujando círculos y otras figuras geométricas en el suelo. Se cuenta que la últimas palabras de Arquímedes fueron "¡no borréis mis círculos!". La muerte de Arquímedes constituye un paradigma del grado en que los científicos y pensadores se pueden abstraer de la realidad, y de las consecuencias de las guerras, que sin distinguir a nada ni a nadie arrasan y lo destruyen todo a su paso.

Era por tanto apenas normal que Sophie Germain tuviera el temor de que la integridad física de Carl Friedrich Gauss pudiera ponerse en peligro en medio del clima bélico, entre las tropas prusianas en retirada y las francesas avanzando y ocupando poblaciones, mientras el joven matemático, aislado de su entorno y sin interés ninguno por los asuntos políticos, se concentraba en sus estudios. Por tal motivo, Sophie se dirigió a un amigo de su familia, Monsieur Pernety, general francés de artillería en la campaña de Prusia, encargado del sitio de Breslau, para que averiguara el paradero de Gauss y procurase que el matemático alemán fuera tratado con consideración. M. Pernety ordenó entonces a M. Chantal, comandante de batallón, que cruzara los doscientos kilómetros que los separaba de la ciudad de Brunswick, ocupada ya por el ejército francés, y se encargara del asunto.

En una carta al general Pernety, Chantal le informó sobre el encuentro con Gauss. "En cuanto llegué a la ciudad me apresuré a cumplir su encargo. He preguntado a varias personas por la dirección de Gauss, en cuya residencia tenía que reunir información a petición de usted y de Sophie Germain. Monsieur Gauss replicó que no tenía el honor de conocerle a usted ni a Mademoiselle Germain, pero que había conocido a Madame Lalande en Paris. Después de explicarle los diferentes puntos contenidos en las órdenes que yo había recibido, pareció un poco confundido y me pidió que le transmitiera a usted su agradecimiento... Le dejé en compañía de su esposa y su hijo y fui a visitar al general Buisson, gobernador de la ciudad, con el fin de recomendarle a Gauss. Yo ya había tenido el honor de conocer al general en otra ocasión previa. Me respondió que haría todo lo posible por M. Gauss, me invitó a cenar, y me comentó que ya le habían recomendado a Gauss varias personas de mérito. Me despedí de él y regresé a la residencia de M. Gauss, pidiéndole que me acompañara a la cena en la casa del gobernador, para que pudiera contar directamente con toda su estima y amabilidad... M. Gauss disfruta de buena salud, y me contó que se asustó cuando las tropas entraron en Brunswick, pero que no había sido molestado..."

La confusión de Gauss, asombrado por la visita de Chantal y todas aquellas recomendaciones por parte de personas que él no conocía, se mantuvo hasta que recibió, por fin, una carta de la propia Sophie Germain en la que le aclaraba todo y develaba su verdadera identidad. "Mientras me describía el resultado de la honorable misión que yo le había encargado, M. Pernety me informó que le había mencionado a usted mi nombre. Esto me conduce a confesarle que no le soy a usted completamente desconocida, como podría suponer, pero temiendo el ridículo que me puede sobrevenir al ser una mujer científica, he tomado anteriormente el nombre de M. LeBlanc para mandarle a usted mis notas que, indudablemente, no merecen la indulgencia con la que usted me ha correspondido".

Gauss, por su parte, se apresuró a contestarle: "Cómo describirle mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal M. LeBlanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no me asombra, ya que los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. De verdad que nada podría probarme de forma tan meridiana y tan poco equívoca que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son quimeras, que la predilección con la que usted ha hecho honor a ella."

Posteriormente, la correspondencia entre ambos personajes se interrumpió, principalmente porque sus campos de trabajo e investigación se fueron separando. A Gauss todavía le quedaba una increíble vida llena de logros y descubrimientos, entre los cuales podemos mencionar, por ejemplo, el desarrollo de métodos que ayudaron a la localización del asteroide Ceres, la profundización en la geometría diferencial de superficies, el estudio de las variables continuas en estadística y probabilidad, el estudio de las geometrías no euclídeas, las funciones elípticas, los residuos bicuadráticos, la teoría de números, y posteriormente muchos campos de la física, como la tensión superficial, la óptica, el electromagnetismo, las fuerzas y el potencial, etc.

Sophie Germain, por su parte, hizo importantes contribuciones a la teoría de los números y a la teoría de la elasticidad, y después de ser rechazada en dos ocasiones, en el año 1816 ganó por fin un concurso convocado por la Academia Francesa de las Ciencias que la convirtió en la primera mujer que asistió a las sesiones de la Academia. En 1830, la Universidad de Göttingen acordó otorgar a Sophie Germain un grado honorífico; Gauss formaba parte de dicha Universidad desde 1807, y él fue el que promovió aquel nombramiento. Sin embargo, Germain apenas tendría tiempo de recibir aquel grado, pues murió de cáncer de mama en 1831.

Carl Friedrich Gauss demostraría su genio extraordinario, y se convertiría en uno de los matemáticos y científicos más importantes de todos los tiempos. Y sin embargo, más allá de los condicionamientos de la época, supo admirar el valor, talento e inteligencia de Sophie Germain, una mujer que un día tuvo que adoptar la identidad de un hombre para no ser ridiculizada y acceder a las cumbres de las ciencias matemáticas.

Notas: además de las páginas de la Wikipedia sobre Gauss y Germain, hemos basado parte del artículo en algunas páginas de la obra Sophie Germain, an essay in the history of the theory of elasticity, escrita por Louis L. Bucciarelli y Nancy Dworsky, y publicada por D. Reidel Publishing Company. Para saber más sobre Gauss, recomiendo el artículo correspondiente ya publicado en este blog.

11.12.09

[El Problema de la Semana] El número de teléfono


Este problema fue planteado a los grumetes hace varios años:

Cuando le pregunté el número de teléfono a un compañero, me dijo:

"Mi número tiene cinco cifras. Si le pones un 4 delante obtienes un número que es el cuádruple del que obtienes si le pones el 4 detrás."
¿Cuál es el número de teléfono de mi compañero?


A continuación ponemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡la solución!


[en la foto, Graham Bell en 1892, haciendo la primera llamada de teléfono, de Nueva York a Chicago]

Para hallar el número de teléfono se puede plantear la siguiente multiplicación:

X Y Z T R 4 · 4 = 4 X Y Z T R

donde X Y Z T R es el número de teléfono del compañero, dígito a dígito.

Haciendo la multiplicación progresivamente por 4 obtenemos que el número pedido es:
X Y Z T R = 1 0 2 5 6


4.12.09

[El Problema de la Semana] Primos gemelos


Éste es el nuevo problema de la semana planteado:
Algunas parejas de números primos se diferencian en 2 unidades. Diremos entonces que estos números son primos gemelos.
El número que hay entre los 2 números de cada pareja de primos gemelos tiene una curiosa propiedad: es un múltiplo de 6 (exceptuando la primera pareja de primos gemelos: 3 y 5).
Trate de dar una explicación convincente de esta propiedad.
A continuación, ponemos una ilustración, y debajo de ella... ¡cuidado, que viene la solución al problema!

[en la imagen, los gemelos Fred y George Weasley, personajes de los libros de Harry Potter]

Se trata de demostrar lógica y matemáticamente la propiedad enunciada arriba. Veamos: todos los números primos salvo el 2 son impares. Si una pareja de números primos, a y b, son gemelos, es decir, se diferencian en dos unidades, entonces ambos primos son impares, (porque el 2 no tiene ningún gemelo, ya que ni el 0 ni el 4 son primos). Entonces el número que hay entre ellos, llamémosle x, es par, y por tanto múltiplo de 2.
Si exceptuamos la primera pareja de primos gemelos, 3 y 5, todos los demás primos gemelos, no pueden ser múltiplos de 3. Tenemos tres números consecutivos, a, x, b, y se puede comprobar fácilmente que dados tres números consecutivos, uno de ellos es forzosamente múltiplo de tres (y los otros dos no). Ni a ni b son múltiplos de 3, por ser primos, luego tiene que serlo a la fuerza x.
Conclusión: x, el número que está entre los dos primos gemelos, es múltiplo de 2 y de 3, por tanto debe ser múltiplo de 2 · 3 = 6.
Nota: es curioso eso de llamarle a estos dos números "primos gemelos", teniendo en cuenta que en español, la palabra "primo" aparte de referirse a los números, se refiere al parentesco que hay entre dos personas en las que uno de los padres de una es hermano o hermana de uno de los padres de la otra. (En inglés, por ejemplo, no hay esa relación entre las palabras, ya que se usan términos distintos, prime para número primo, cousin, para la relación de parentesco).
He estado pensando sobre la posibilidad de que dos personas fueran primos y a la vez gemelos, y se me ocurre el caso de un hombre que se case con su hermana, por ejemplo, y tuvieran dos hijos que fueran gemelos. Estos niños, además de ser hermanos, serían primos, pues sus padres son hermanos.
Actualmente, que dos hermanos se casen es considerado incesto, pero antiguamente existieron culturas en las que esos matrimonios eran permitidos, especialmente entre la realeza.

Ampliación: uno de los grumetes me entregó el problema resuelto de la siguiente manera: "los números primos pertenecen a las sucesiones 6n+1 y 6n1, por lo que los números anteriores y posteriores a los múltiplos de 6 son posibles candidatos a ser números primos". A continuación el grumete indica ejemplos de números de las sucesiones mencionadas que sí son primos.

A primera vista no acepté dicho argumento, porque me pareció que afirmar que todos los números primos pertenecían a dichas sucesiones era incorrecto, y que habría números primos que no pertenecieran a dichas sucesiones. Sin embargo consideré interesante la presentación de las dos sucesiones, porque implícitamente indicaba que entre dos primos consecutivos que se diferenciaran en dos unidades (dos primos gemelos, como les estamos llamando aquí) se podía incluir otro número que necesariamente pertenecería a la sucesión 6n y por tanto sería múltiplo de 6.

Por un lado, la idea que yo tuve de que no todos los números primos eran del tipo 6n+1 ó 6n-1 es correcta. Ni el 2 ni el 3 son de este tipo, y sin embargo son primos. Pero por otro lado, estos son los únicos que no cumplen esa propiedad.

En efecto, si tenemos un número primo que no sea ni 2 ni 3, entonces lo dividimos por 6, dará un cociente n, y un resto, y el resto puede ser 0, 1, 2, 3, 4 ó 5, luego el número puede ser 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4 ó 6n+5. Si el número es primo, entonces tenemos que descartar 6n, (por ser múltiplo de 6), 6n+2 y 6n+4 (porque son pares, y el único primo par es el 2) y 6n+3 (que es múltiplo de 3). Luego nuestro número primo, al dividirlo por 6 sólo puede dar resto 1 ó resto 5, y por tanto puede ser de la forma 6n+1, o bien 6n+5 (con lo que le faltaría solo una unidad para llegar a ser múltiplo de 6, y por consiguiente es equivalente a decir que es de la forma 6n1)

Según esto, no es difícil demostrar, con un poco de práctica para las demostraciones matemáticas, lo que pide nuestro problema. Sean dos primos gemelos, distintos de la pareja 3 y 5, llamémosle a al primero y b al segundo. Si a es de la forma 6n1, entonces el número entre a y b es 6n, y por tanto múltiplo de 6. Si b es de la forma 6n+1, entonces el número entre a y b también es 6n. No es posible, sin embargo, que a sea de la forma 6n+1, y b de la forma 6n1, porque entonces el anterior de a sería múltiplo de 6 y el posterior de b sería también múltiplo de 6, pero el anterior de a y el posterior de b se diferencian en sólo 4 unidades, y eso nos lleva a una contradicción, ya que los múltiplos de 6 se diferencian al menos en 6 unidades. Sea como sea, la única posibilidad es que efectivamente el número comprendido entre los primos gemelos a y b sea múltiplo de 6.

El argumento de nuestro grumete, aunque incompleto, señalaba a una demostración correcta del problema de los primos gemelos.

Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

27.11.09

[El Problema de la Semana] Las patatas fritas

Esta semana les hemos puesto a los grumetes el siguiente problema:

Tres viajeros se detienen en un bar para cenar, pero el cocinero sólo puede ofrecerles patatas fritas. Los viajeros se duermen agotados. Uno de ellos se despierta, se come la tercera parte de las patatas y se vuelve a dormir. Al poco se despierta otro, que se come la tercera parte de las patatas restantes. El tercero hace lo mismo. El cocinero vuelve a la mesa y se encuentra a los tres viajeros dormidos y ocho patatas en el plato. ¿Cuántas había al principio?

La solución se explica más abajo de la ilustración. Ya sabe que si quiere intentar el problema usted por sí solo, ¡no debe seguir leyendo!



El problema se puede solucionar bien por tanteo, bien mediante el planteamiento de un esquema con fracciones, bien con una ecuación.
Nosotros lo vamos a resolver usando fracciones.
El primer viajero se come 1/3 de las patatas, luego deja 2/3 sin comer.
El segundo viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 2/3 es exactamente 2/9 (hay que multiplicar las fracciones). Si se ha comido 2/9, entonces quedan 2/3  2/9 = 4/9.
El tercer viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 4/9 es exactamente 4/27. Luego al final sobran 4/9  4/27 = 8/27. Si han quedado 8 patatas en el plato, y esta cantidad es 8/27 de lo que había al principio, no es difícil darse cuenta de que al principio había 27 patatas, que es la solución.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

20.11.09

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:

Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?

Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!


Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre.
Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25.
Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

17.11.09

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuevos. Éste sistema de los pedacitos de colores colocados entre un cristal transparente y uno translúcido es el más corriente, pero se han desarrollado muchas variantes, como se puede contemplar en esta página sobre caleidoscopios: tubos llenos de aceite por los que circulan los pedacitos de colores, imágenes fijas translúcidas que se pueden cambiar o desplazar, etc.
Una de las variantes del caleidoscopio es lo que se ha denominado teleidoscopio o tomoscopio: el final del tubo del caleidoscopio se completa con una semiesfera de cristal en lugar de los pedacitos de colores; así la imagen del lugar donde nos encontramos se filtra por la esfera de cristal, miniaturizándose, y lo que se ve por el tomoscopio es la multiplicación simétrica de esa imagen, y podemos jugar, por tanto, con la imagen real de nuestro entorno, en lugar de los motivos geométricos más sencillos habituales.
Si el corazón del caleidoscopio son sus dos espejos, el alma del caleidoscopio es el ángulo que forman los dos espejos y el consiguiente efecto de simetría múltiple que provoca este ángulo. Según la apertura del ángulo, la imagen se repetirá en los espejos formando hermosos rosetones. Para que la simetría sea perfecta, el ángulo de los espejos ha de ser coincidente con una partición exacta del círculo. Si el ángulo es, por ejemplo, de 90º (la cuarta parte del círculo), entonces la imagen se verá multiplicada por cuatro; si el ángulo es de 72º tendremos un rosetón de exactamente cinco figuras simétricas; si el ángulo es de 60º, obtendremos seis figuras, etc.
Precisamente, uno de los ángulos más utilizados en los caleidoscopios es el de 60º, ya que si los espejos se disponen en esta abertura, podemos añadirles un tercer espejo de las mismas dimensiones, y así los tres formarán un triángulo equilátero, multiplicando el reflejo y consiguiendo un motivo simétrico mucho más amplio. Además, la estructura de los tres espejos en triángulo tiene mucha solidez y estabilidad a la hora de construir el caleidoscopio y colocar los espejos dentro del tubo.

No es necesario que el ángulo sea de 60º para añadir un tercer espejo, podemos cerrar con un tercer espejo la formación, sea el que sea el ángulo de partida, y buscando combinaciones diferentes se pueden conseguir muchos efectos. También se pueden colocar, por ejemplo, cuatro espejos en lugar de tres. Si ponemos cuatro espejos iguales formando ángulos de 90º, obtenemos un infinito reflejo simétrico cuadrado muy llamativo, que me recuerda a la siguiente ilustración del artista M.C.Escher:

En el artículo de la Wikipedia dedicado al caleidoscopio se afirma que este aparato fue inventado por David Brewster en 1816. Un colaborador de la Wikipedia ha completado el artículo afirmando poéticamente que "el caleidoscopio puede transportarte a un mundo, que por una extraña razón es el lugar mismo donde se fabrican los sueños y las canciones de cuna". Efectivamente, es extraña la razón de que las construcciones geométricas, las simetrías, los giros, sean capaces de crear mundos mágicos de misterio y ensueño.
No son pocas las películas que utilizan el tema de los espejos para crear escenas llenas de magia y evocación. En muchas se aprovecha dicho tema para ubicar en esas escenas los momentos álgidos del argumento, conflictos terribles, luchas épicas. Recordemos, por ejemplo, las escenas finales de La Dama de Shanghai, protagonizada por Orson Welles y Rita Hayworth, de las cuales incluimos un fotograma a continuación:

También tenemos la lucha final de Operación Dragón, la mítica película de Bruce Lee (véase la ilustración más abajo), y se me viene al recuerdo unas escenas de Conan el Destructor, protagonizada por Arnold Schwarzenegger, Grace Jones y el impresionante jugador de la NBA Wilt Chamberlain (que todavía conserva el récord de los 100 puntos en un solo partido, y otros 71 récords más).

En el Parque de las Ciencias de Granada, existe una Sala dedicada a la percepción, en la que entre otras experiencias se muestran varias actividades con espejos. Una de ellas, concretamente, es un espacio en forma de triángulo equilátero rodeado por tres espejos; la persona que se introduce en ese espacio ve su imagen multiplicada hasta el infinito entre los espejos, como si se encontrara en el interior de un caleidoscopio.

[imagen extraída de flickr]
Poder entrar y situarse entre los tres espejos, y contemplar el reflejo en ellos, es una experiencia inquietante, porque no sólo nos podemos ver de frente, sino que también vemos nuestro perfil y nuestra espalda, en vivo y en directo, lo cual suele parecernos extraño y es posible que hasta nos cause rechazo y cierto complejo. Hay que tener en cuenta que cada uno de nosotros tiene una imagen idealizada de sí mismos, que no coincide con la realidad, y cuando tenemos la oportunidad de contemplar por primera vez esa imagen real, nos suele parecer peor de lo que es, y surge un sentimiento de mucha vergüenza, porque nos damos cuenta de que esa imagen de nosotros que nos desagrada es la que ven continuamente las personas que nos rodean.
La geometría también es un instrumento particularmente evocador, por ejemplo, en tiempos como la Navidad. Los motivos geométricos navideños son abundantes: los copos de nieve, con su simetría hexagonal, la estrella de Belén, habitualmente de cinco puntas como el pentagrama pitagórico, los abetos en su forma triangular-cónica y ligeramente fractal, las piñas de los abetos, que esconden entre sus escamas espirales con números de Fibonacci, las bolas navideñas de colores, como esferas perfectas, etc... No es de extrañar que la Navidad sea un momento perfecto para regalar caleidoscopios y disfrutar de su contemplación mientras dejamos que vuele nuestra fantasía...
Para terminar, quiero comentar que existe una asociación, la Brewster Kaleidoscope Society, dedicada a los aficionados a los caleidoscopios y que lleva precisamente el nombre de Brewster en honor al inventor del caleidoscopio; en su página web se detalla una extensa biografía de aquel portentoso científico escocés que destacó en muy diversos campos, contribuyendo a la ciencia no sólo con la invención del caleidoscopio (con mucho su logro más popular), sino con el perfeccionamiento del estereoscopio, la invención de esas lentes cortadas en capas usadas en los faros, el estudio de las leyes de la polarización de la luz y de la reflexión de la luz sobre los metales, y otras muchas propiedades ópticas muy importantes y de uso corriente hoy en día.

15.11.09

Tres cuartos de asesinato

Cuaderno de bitácora: como quiera que en las largas horas de matenavegación también dedico tiempo a mi amor por la literatura, desde hace meses he estado leyendo poco a poco Las aventuras del buen soldado Svejk, de Jaroslav Hasek, "una de las novelas más hilarantes y subversivas de la literatura universal, en la que se da vida al entrañable y humilde soldado Svejk, enrolado en el ejército austrohúngaro durante la Primera Guerra Mundial" y en la que aparece inesperadamente un pasaje curioso que no me resisto a reflejar en el blog.



Svejk, debido a una circunstancia estúpida, pierde el tren con destino a Budejovice, tren que le tenía que llevar a incorporarse al regimiento 91, al que pertenece. Entonces decide dirigirse a Budejovice a pie, atravesando pueblo tras pueblo, y en uno de esas poblaciones es arrestado por los gendarmes y acusado de deserción o, lo que es peor, de espionaje.
El centinela llevó a Svejk al despacho. El jefe de los gendarmes lo invitó a sentarse con un gesto amistoso y comenzó a interrogarlo de nuevo. Para empezar, le preguntó si sus padres vivían:
-No.
El jefe de los gendarmes pensó enseguida que era mejor así, al menos nadie tendría que llorar por aquel desdichado. Entonces miró la cara bondadosa de Svejk y en un repentino impulso de cordialidad le dio unos golpecitos en la espalda, se inclinó hacia él y le dijo en tono paternal:
-¿Se encuentra a gusto en Bohemia?
-Me encuentro a gusto en todas partes, en Bohemia -respondió Svejk-; por el camino me he encontrado muy buenas personas.
El jefe de los gendarmes asintió con la cabeza:
-En nuestro país la gente es buena y cordial. De vez en cuando hay algún robo o alguna pelea, delitos sin importancia. Ya hace quince años que estoy aquí, y si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año.
-¿Se refiere a un asesinato incompleto? -preguntó Svejk.
-No, no quiero decir eso. El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos. Cinco fueron con robo y los otros seis homicidios comunes, de los que apenas tienen importancia.
El jefe de los gendarmes hizo una pausa y después retomó su método de interrogatorio:
-¿Y qué pretendía hacer en Budejovice?
-Incorporarme al regimiento 91.
"Si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año... El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos..." De repente, como quien no quiere la cosa, en medio de este clásico de la literatura checa, aparece un pequeño problema de comparación de fracciones.

Se han producido once asesinatos en quince años, eso quiere decir una proporción de 11/15 de asesinato por año. Pero el jefe de los gendarmes no se queda con esta fracción, sino que la redondea a 3/4 directamente. No son las mismas fracciones, pero ¿son parecidas?

¿Qué faltaría para que haya exactamente tres cuartos de asesinato por año? (las respuestas a estas preguntas están en los comentarios)

No son éstas las únicas matemáticas que aparecen en la genial obra de Hasek. Las matemáticas se filtran como ladrones en la noche en los lugares más insospechados, y las grandes novelas de la literatura universal no están libres de ellas. Más adelante, en el mismo libro, una vez que Svejk ha esquivado a los gendarmes y se ha logrado reunir con su regimiento y éste se dirige en tren hacia el frente de Rusia, continúa contando Hasek:
El capitán Ságner recibió una delegación de la "Asociación para el acogimiento de los héroes", que consistía en dos señoras completamente agotadas. Éstas le entregaron un regalo para el tren, es decir, veinte cajitas de caramelos perfumados, artículos de propaganda de una fábrica de dulces de Budapest. Las cajitas eran metálicas y en la tapa estaba pintado un soldado húngaro dando la mano a un militar austríaco; encima de ellos, resplandecía la corona de san Esteban. Alrededor, había una inscripción en alemán y en húngaro: "Por el emperador, Dios y la patria".
La fábrica de dulces era tan leal a la monarquía que había puesto al emperador antes que a Dios.
Cada cajita contenía unos ochenta caramelos, de modo que tocaban a cinco pastillas para cada tres personas.
Según esto último, podemos plantear la siguiente cuestión: ¿de cuántas personas se componía el regimiento? Es un problema sencillo cuya respuesta la he puesto en los comentarios a esta entrada.

PD: matenavegando, hemos encontrado el blog titulado Matemáticas Recreativas, y en él un problema, precisamente, sobre cajas de caramelos. Los autores del blog lo han propuesto para que se les mande la respuesta. Invito al lector a que lo intente resolver, aunque por mi parte ya mandé la respuesta y está en los comentarios de dicho problema.

13.11.09

[El Problema de la Semana] El concurso de música

Otro de los problemas que en su momento incluí en doDK es el que traemos a continuación. Es un problema muy sencillo.
Recuérdese que más abajo se incluye la solución del problema. El lector que quiera resolverlo por sí mismo no debe leer más allá de la ilustración.

En un concurso de música han acudido siete participantes, y el jurado ha decidido que participen en el siguiente orden: Dolores Pérez, Remedios García, Miranda Fernández, Fátima Rosales, Soledad Moreno, Laura Martín, Silvia Hermosillo.
Las concursantes aceptan el orden de participación pero se preguntan el porqué de dicho orden.

¿Sabrías tú explicar por qué el jurado ha decidido que participen en dicho orden?

[En la imagen, la cantante de jazz Diana Krall. Fotografía de Skip Bolen]

Solución: el orden se ha seguido según la propia escala musical; si nos fijamos en las primeras letras de cada nombre nos daremos cuenta de que coinciden con las notas musicales.

10.11.09

Sobre Gauss


Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano
Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.
Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.
Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]
El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.
En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2k + 1, con k = 2n [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].
Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.
En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.
En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.
Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".
Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.
El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.
Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.
Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.
Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.
En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.
En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.
Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.
Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.
Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

6.11.09

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración:
Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco:
El truco de la alambrada
Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar.
Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El mago la sostiene a sus espaldas (o debajo de la mesa) durante unos 30 segundos. Cuando vuelve a mostrarla, la cuartilla está cubierta de arrugas y marcas que forman una teselación regular a base de hexágonos (como la de la figura). ¿Cómo hacerlo? Casi todo el mundo acusa al mago de haber presionado la cuartilla contra un trozo de alambrada de gallinero, pero en realidad las marcas se han hecho usando las manos nada más.
Martin Gardner, al final del capítulo, comenta la solución (no siga leyendo si quiere intentar resolver el pasatiempo por sí mismo):
Para dejar marcada una cuartilla de papel con un entramado hexagonal, se empieza enrollando la cuartilla y formando un tubo de un centímetro o centímetro y medio de diámetro. Pellizcando uno de los extremos del tubo entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda, se aplasta esa boca hasta dejarla plana. Manteniendo con la mano izquierda la presión en el mismo lugar, se aplasta el tubo entre el índice y el pulgar de la mano derecha en un punto tan cercano al anterior como se pueda, pellizcándolo en un plano perpendicular al del aplastamiento anterior. Hay que apretar fuertemente con ambas manos, y al mismo tiempo empujar los aplastamientos el uno hacia el otro, a fin de hacer que las líneas de los pliegues sean lo más nítidas posible. Ahora es la mano derecha la que mantiene la presión mientras con la izquierda se hace un tercer aplastamiento adyacente y perpendicular al segundo. Se prosigue de igual modo, cambiando alternativamente de mano al ir avanzando a lo largo del tubo, hasta haber pellizcado el tubo entero. (Los niños suelen hacer esto mismo con pajitas de refresco, para hacer "cadenas".) Se desenrolla el papel. Al hacerlo, vemos en él una teselación hexagonal sumamente desconcertante para el no iniciado.
John H. Coker me escribió diciendo que cuando él iba a la escuela, a comienzos de los años treinta, en Yugoslavia, su maestro arrollaba y aplastaba de este modo las notas dirigidas a otros profesores. Por ser extremadamente difícil desenrollar un tubo así y volverlo a enrollar exactamente como estaba antes, el tubo ponía el mensaje a salvo de los niños encargados de transmitir la nota.
Este truco tiene mucho éxito entre todas las personas que lo contemplan, y los grumetes se entusiasman con él, haciéndose rápidamente muy popular en cuanto se enseña.

2.11.09

El hundimiento de doDK

Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe.

Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos.



Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil.

Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar.

Así ha permanecido durante meses y años amarrada a puerto, hasta que Yahoo ha decidido la clausura del muelle de Geocities, y no ha habido más remedio que dejar que doDK, humilde pero valiente nave, se hunda en el mateocéano con todos los honores.

Sin embargo, muchas de las mercancías que guardaba en la bodega se han podido salvar del naufragio, y así, poco a poco, en este mismo blog, iremos publicando los artículos, curiosidades, problemas y pasatiempos que contenía, aprovechando la ocasión para corregirlos, actualizarlos y ampliarlos.