25.2.09

La Carretera hacia la Luna

Al profesor Cristóforus, eminente explorador de los Mateocéanos imaginarios, se le ha ocurrido la peregrina idea de proyectar la construcción de una carretera hacia la Luna. Aunque diversos amigos ingenieros y físicos se han apresurado a desanimarlo, por los numerosos inconvenientes que presenta el proyecto, el profesor no ha dudado en continuar con su propósito, alegando que "todo es posible en el mundo abstracto del pensamiento".

Uno de los ingenieros amigos de Cristóforus, la profesora Sebastianis, ha declarado que si se lograse trazar una carretera recta hacia nuestro satélite, al enganchar dicha carretera con la superficie lunar el movimiento orbital del satélite empezaría a retorcerla y a enrollarla sobre la Tierra. En ese caso, a menos que la carretera se hiciera con un material flexible e infinitamente elástico, sólo podrían suceder dos cosas: que la carretera se rompiera inmediatamente, o bien, si es suficientemente sólida, que arrastrara a la propia Luna hacia la superficie terrestre hasta colisionar con ella. La profesora Sebastianis sólo encuentra ante este problema la solución de no enganchar la carretera a nuestro satélite, sino dejarla sin terminar, suelta en el espacio, pero esto obligaría a cualquier viajero que usara la carretera a esperar que la Luna, después de dar su vuelta orbital, se colocara en la posición exacta para "saltar" desde la carretera hasta la superficie lunar. La maniobra, debido a la velocidad de nuestro satélite en su movimiento de traslación, sería tremendamente arriesgada.

Uno de los físicos, el profesor Cortés, ha puesto reparos al uso de la carretera. Afirma que ante la falta de gravedad en el espacio exterior, el agarre de los vehículos sobre la misma sería nulo, con lo que se tendría que emplear algún tipo de atracción magnética entre la superficie de la carretera y los coches que circularan por ella. También, debido a la falta de aire una vez que se sale al espacio y en la propia superficie lunar, los vehículos han de ir presurizados, y a nadie se le debe ocurrir durante el trayecto bajar las ventanillas en ningún momento.

Frente a los obstáculos y constantes discusiones que sostiene con sus colegas, el profesor Cristóforus insiste, como niño caprichoso, en que tiene la ilusión de poder ir algún día a la Luna conduciendo su propio coche, como el que se va a la playa cuando llegan las vacaciones. Sus compañeros intentan desanimarlo por todos los medios, pero se ha encabezonado en sus propósitos y permanece impermeable a todas las críticas.

El Sr. Pizárrez, que trabaja en una empresa de automóviles, le ha manifestado también al profesor las dificultades técnicas añadidas por la inmensa distancia de la Tierra a la que se encuentra la Luna. Parecería que nuestro satélite está al alcance de la mano, especialmente cuando lo vemos cerca del horizonte, pero la distancia real es de 384.000 kilómetros. Si un coche circulase por la carretera a una velocidad media de 120 kilómetros a la hora, se necesitan más de 3.000 horas para cubrir esa distancia. Haciendo una media de diez horas diarias de conducción, los viajeros pueden tardar trescientos días en llegar a la Luna. Son necesarias gasolineras para repostar y hoteles para pernoctar, y si se reducen las paradas a una sola al día, tendrían que instalarse no menos de trescientas gasolineras con sus correspondientes hoteles a intervalos iguales a lo largo de toda la carretera.

Además, continúa el señor Pizárrez, tenemos el tema de las revisiones del coche. Si hacemos una revisión al coche, con su cambio de aceite, filtros, bujías, etc., cada 30.000 kilómetros por ejemplo, han de instalarse doce o trece talleres. Y el automóvil, si al salir de la Tierra está nuevo, cuando llegue a la Luna tendrá casi cuatrocientos mil kilómetros, con lo que estará al final de su vida útil. Para un viaje a la Luna hay que comprar un coche nuevo en la Tierra y desecharlo para desguace cuando se llega a la Luna. Ni que decir tiene que si se quiere regresar desde la Luna también en coche, hay que comprar otro en la superficie de nuestro satélite, y por tanto se ha de abrir allí un concesionario.
De cualquier manera, Cristóforus sigue contumaz, y ya tiene trazado unos planos de una autopista que partiendo desde la Antártida tangencialmente a la Tierra se va separando suavemente de la superficie de nuestro planeta, que se curva sobre sí misma siguiendo las geodésicas, mientras que la carretera se mantiene recta apuntando directamente hacia el espacio exterior. La idea del profesor recuerda vagamente a la historia narrada por Tolkien, la de los barcos élficos que partían de los Puertos Grises en la Tierra Media para alcanzar la sagrada Valinor. Al igual que esta leyenda, el proyecto del profesor Cristóforus no parece que pueda salir del terreno de la fantasía para convertirse algún día en una construcción real. Seguiremos informando a ver en qué queda todo esto.

11.2.09

Más allá de los números perfectos

Cuaderno de bitácora: hace ya tiempo que conozco la existencia en los Matemares de los números perfectos, aquellos que son iguales a la suma de sus divisores propios. Escasean como diamantes preciosos en el inmenso cofre de la Aritmética, pero puedo nombrar a los primeros: el 6, el 28, el 496, el 8128. También descubrí uno de esos días de Matenavegación incansable a los números amigos, como el par 220 y 284, que cumplen que la suma de los divisores propios de uno es igual al otro y viceversa.

Una buena tarde, con viento favorable y mar en calma, decidí emprender en solitario una búsqueda nueva, al menos para mí. Pensé que si existían números perfectos y números amigos podrían existir números a los que en principio llamé simpatizantes. Me dije que debían haber grupos cerrados de números tales que al sumar los divisores propios del primero de ellos me diera el segundo, al sumar los divisores propios del segundo me diera el tercero, y así sucesivamente hasta que al sumar los divisores propios del último me diera el primero de los números y así se cerrara el círculo. Es decir, conjuntos cíclicos en los que la suma de los divisores se mantenga girando entre ellos eternamente.

Desgraciadamente para mí, en los Mateocéanos existen ya pocas tierras desconocidas, y la de mis números simpatizantes es una tierra visitada ya por muchos otros matenavegantes.
En efecto, los que llamé números simpatizantes se llaman en realidad números sociables. Al encontrarlos en Internet, me di cuenta de que mi búsqueda hubiera resultado inútil, pues armado tan solo con un bolígrafo, un cuaderno y una calculadora, llegué en mis indagaciones no más allá del 500 sin éxito, quedándome lejos del primer grupo de números sociables que existe, el formado por los cinco números: 12.496, 14.288, 15.472, 14.536, 14.264, descubrimiento que he obtenido gracias a toda la información que circula por la red.
Además me enteré que todo esto de sumar los divisores propios de un número para obtener otro, y luego sumar los divisores propios de éste para obtener un tercero, y así sucesivamente se llama una sucesión alícuota. Sí, a mí también me asustó esta última palabra cuando la leí por primera vez.
Habitualmente, la sucesión alícuota de los números que no son perfectos, amigos o sociables acaba en 1. Invito a todos los matenavegantes a que prueben con diversos ejemplos. Pongamos por caso el número 34. Tiene divisores propios 1, 2, 17, luego 1+2+17=20; el 20 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 10, 1+2+4+5+10=22; divisores propios del 22 son 1, 2, 11, y 1+2+11=14; divisores del 14 son 1, 2, 7, y 1+2+7=10; divisores del 10 son 1, 2, 5; 1+2+5=8; divisores del 8 son 1, 2, 4; 1+2+4=7; el 7 es un número primo luego su único divisor propio es el 1, y la sucesión alícuota acaba en 1. La sucesión alícuota completa del 34 sería: 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1.
Pero dentro de mi viaje particular descubrí rápidamente unos islotes inadvertidos, y en ellos cierto tipo de números a los que no se les ha puesto nombre todavía y yo me he atrevido a bautizar como números fans. Uno de ellos es el 25. La sucesión alícuota de 25 no acaba en 1, sino que acaba en un número perfecto. Si sumamos sus divisores propios, 1 y 5, obtenemos 6, un número perfecto, luego su sucesión alícuota no termina en 1 sino en 6. Podemos decir que el 25 admira al 6, y me parece ver a los dos números como si uno fuera una celebridad y otro fuera su fan incondicional, de ahí el nombre que le he puesto. Además del 25 existen otros números cuya sucesión alícuota acaba en un número perfecto. Animo a los matenavegantes a que encuentren otros ejemplos.
Los números fans... ¿Acaso nadie todavía se había fijado en este tipo de números? ¿Nadie había prestado atención a una tierra que estaba delante de todos y que no tenía nombre hasta ahora?

4.2.09

Paralelo 28

Cuaderno de bitácora: hace unas semanas volví a ver la película 1492, de Ridley Scott, y por ese motivo estuve recordando las hazañas de uno de los navegantes más famosos e intrépidos de todos los tiempos: Cristóbal Colón.

Realmente hay muchos temas interesantes ligados a las matemáticas que aparecen en esta película. Ejemplos: la esfericidad de la Tierra, la manipulación y falsificación de cálculos que tuvo que realizar Colón para que su proyecto fuera aprobado, la navegación por el Atlántico utilizando el cuadrante y el astrolabio, el cálculo de la velocidad de los barcos y de la posición de los mismos en el mar, la economía de Colón en sus primeras colonias en el nuevo mundo, etc.

Algunos afirman que en su primer viaje a través del Atlántico, aquél que realizó entre agosto y octubre de 1492, Colón sabía hacia dónde se dirigía, pues tenía en su poder cierta información de otros navegantes e incluso algunos mapas antiguos en los que figuraba el continente americano.

Sería muy largo aquí explicar toda la historia de la exploración de nuestro planeta antes de Colón, y las diferentes teorías precolombinas sobre la forma y el tamaño de la Tierra. Solamente quiero recordar que aunque la idea extendida en la antigüedad era de que la Tierra tenía una forma plana, hubo diversos sabios, filósofos, científicos, geógrafos, que afirmaron antes de Colón que la Tierra era esférica. Entre ellos, uno de los más conocidos fue Eratóstenes, que ya en el siglo III a. de C. llegó a calcular, mediante mediciones de la inclinación de los rayos solares en diferentes latitudes, el tamaño terrestre con un error muy pequeño frente al tamaño real (se dice incluso que con un error menor a un 1%).

Cuando Colón quiso presentar su proyecto de atravesar el océano, él no podía basarse en que iba a descubrir nuevas tierras desconocidas, porque todo el mundo lo tomaría por loco, y nadie le prestaría el apoyo y los recursos financieros para fletar las naves de su viaje. Apoyándose en la convicción de que la Tierra era esférica, Colón afirmó que viajando hacia el oeste a través del Atlántico se podía dar toda la vuelta al planeta y llegar a las Indias Orientales (el continente asiático: China, Japón, etc.) y así abrir una nueva ruta de comercio con aquellos remotos parajes que beneficiaría y enriquecería a la corona española.

Pero si se pretendía llegar hasta el Asia atravesando el mar y se hacían cálculos del tamaño de la Tierra y de cuánto podía durar esa travesía, la extensión del océano resultaba demasiado grande, y los barcos no podrían realizar un viaje tan largo en los que estarían meses y meses sin tocar tierra. Los marineros no tendrían comida ni agua suficiente para completar la travesía. Colón entonces trucó los datos: eligió aquellas teorías en las que el tamaño de la Tierra era más pequeño y la extensión de Asia era más grande, para que el viaje saliera lo más corto posible y fuera factible llevarlo a cabo.

De hecho, si no existiera América, Colón no habría sido capaz de atravesar el océano (el Atlántico y el Pacífico juntos) para llegar hasta Asia. Pero cuando expuso su proyecto en Salamanca, logró convencer a los estudiosos de aquella época de que el viaje era posible.

En la película, durante el primer viaje, se observan algunas escenas interesantes, como aquella en la que Colón, durante la noche calcula la latitud a la que se encuentran los barcos con la ayuda de un cuadrante apuntado hacia la estrella Polar. Uno de sus compañeros le pide que le enseñe esa forma de orientarse en medio del océano, y el genovés le muestra cómo apuntar el cuadrante y comprobar que se encuentran en el Paralelo 28. Ésa es la ruta correcta. Cómo lo sabe Colón, o por qué elige ese paralelo terrestre, la película no lo explica, tan sólo dice que si siguen ése paralelo llegarán a su destino.

1492 tiene una banda sonora espectacular, maravillosa, profundamente inspiradora. Fue compuesta por Vangelis, autor de tantas otras músicas increíbles y bandas sonoras como la de Carros de Fuego, Blade Runner, o la de la serie de divulgación científica Cosmos, de Carl Sagan, por citar sólo algunas. En la banda sonora de 1492 Vangelis dedica uno de los temas más bellos, precisamente al Paralelo 28.
Cuando vi la película esta última vez, me pregunté ¿por qué exactamente 28? Y encontré varias asociaciones interesantes que quisiera exponer aquí.

Por un lado, en el terreno del misterio, se ha hablado en algunos libros sobre el Paralelo 27, que es como se ha bautizado una zona o banda alrededor de la Tierra en la que se ubican lugares especialmente misteriosos por los fenómenos y la historia que arrastran, por ejemplo, el famoso Triángulo de las Bermudas, las pirámides de Egipto, el desierto del Sáhara, la cordillera del Himalaya, el mar del Diablo en Japón, la Zona del Silencio en México, etc. Teniendo en cuenta que un paralelo es una línea, y estos lugares mencionados son extensos en superficie, en realidad ocupan varios paralelos, y asignar el número 27 no se debe tomar como algo que busque una exactitud geográfica, sino que es tan sólo un número llamativo para agrupar todas estas zonas. De hecho, la trayectoria de Colón en su navegación atravesando el Atlántico hacia América se mantuvo en esta franja, pues la distancia entre dos paralelos contiguos es poco más de 100 kilómetros. También sabemos que las Pirámides de la planicie de Gizéh o Giza se encuentran exactamente en el Paralelo 30, no en el 27 ni en el 28, y por tanto su distancia al centro de la Tierra es la misma que hasta el Polo Norte, lo que induce a pensar que cuando se construyeron las pirámides, ese lugar fue elegido adrede.

Entonces, ¿por qué Colón eligió el 28, y no el 27 ó 30? Ahora mismo no sé responder a esta pregunta, lo mismo que no sé por qué el paralelo del misterio es el 27 exactamente. Pero el número 28 no es un número al azar, matemáticamente hablando. Es un número perfecto: coincide con la suma de sus divisores propios. En efecto, 28 es divisible entre 1, 2, 4, 7, 14 y 28. Si lo excluimos a él mismo y sumamos el resto de los divisores (los llamados divisores propios), 1+2+4+7+14=28. Esta propiedad la presentan muy pocos números, el más pequeño de ellos es el 6, el siguiente es el 28, y luego hay que esperar hasta el 496, y después el 8128, etc.

Podemos decir, por tanto, que para un matenavegante el Paralelo 28, el que llevó a Cristóbal Colón al descubrimiento del nuevo mundo, es un paralelo perfecto.