27.11.09

[El Problema de la Semana] Las patatas fritas

Esta semana les hemos puesto a los grumetes el siguiente problema:

Tres viajeros se detienen en un bar para cenar, pero el cocinero sólo puede ofrecerles patatas fritas. Los viajeros se duermen agotados. Uno de ellos se despierta, se come la tercera parte de las patatas y se vuelve a dormir. Al poco se despierta otro, que se come la tercera parte de las patatas restantes. El tercero hace lo mismo. El cocinero vuelve a la mesa y se encuentra a los tres viajeros dormidos y ocho patatas en el plato. ¿Cuántas había al principio?

La solución se explica más abajo de la ilustración. Ya sabe que si quiere intentar el problema usted por sí solo, ¡no debe seguir leyendo!



El problema se puede solucionar bien por tanteo, bien mediante el planteamiento de un esquema con fracciones, bien con una ecuación.
Nosotros lo vamos a resolver usando fracciones.
El primer viajero se come 1/3 de las patatas, luego deja 2/3 sin comer.
El segundo viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 2/3 es exactamente 2/9 (hay que multiplicar las fracciones). Si se ha comido 2/9, entonces quedan 2/3  2/9 = 4/9.
El tercer viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 4/9 es exactamente 4/27. Luego al final sobran 4/9  4/27 = 8/27. Si han quedado 8 patatas en el plato, y esta cantidad es 8/27 de lo que había al principio, no es difícil darse cuenta de que al principio había 27 patatas, que es la solución.

Nota: este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.

20.11.09

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:

Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?

Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!


Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre.
Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25.
Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

17.11.09

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuevos. Éste sistema de los pedacitos de colores colocados entre un cristal transparente y uno translúcido es el más corriente, pero se han desarrollado muchas variantes, como se puede contemplar en esta página sobre caleidoscopios: tubos llenos de aceite por los que circulan los pedacitos de colores, imágenes fijas translúcidas que se pueden cambiar o desplazar, etc.
Una de las variantes del caleidoscopio es lo que se ha denominado teleidoscopio o tomoscopio: el final del tubo del caleidoscopio se completa con una semiesfera de cristal en lugar de los pedacitos de colores; así la imagen del lugar donde nos encontramos se filtra por la esfera de cristal, miniaturizándose, y lo que se ve por el tomoscopio es la multiplicación simétrica de esa imagen, y podemos jugar, por tanto, con la imagen real de nuestro entorno, en lugar de los motivos geométricos más sencillos habituales.
Si el corazón del caleidoscopio son sus dos espejos, el alma del caleidoscopio es el ángulo que forman los dos espejos y el consiguiente efecto de simetría múltiple que provoca este ángulo. Según la apertura del ángulo, la imagen se repetirá en los espejos formando hermosos rosetones. Para que la simetría sea perfecta, el ángulo de los espejos ha de ser coincidente con una partición exacta del círculo. Si el ángulo es, por ejemplo, de 90º (la cuarta parte del círculo), entonces la imagen se verá multiplicada por cuatro; si el ángulo es de 72º tendremos un rosetón de exactamente cinco figuras simétricas; si el ángulo es de 60º, obtendremos seis figuras, etc.
Precisamente, uno de los ángulos más utilizados en los caleidoscopios es el de 60º, ya que si los espejos se disponen en esta abertura, podemos añadirles un tercer espejo de las mismas dimensiones, y así los tres formarán un triángulo equilátero, multiplicando el reflejo y consiguiendo un motivo simétrico mucho más amplio. Además, la estructura de los tres espejos en triángulo tiene mucha solidez y estabilidad a la hora de construir el caleidoscopio y colocar los espejos dentro del tubo.

No es necesario que el ángulo sea de 60º para añadir un tercer espejo, podemos cerrar con un tercer espejo la formación, sea el que sea el ángulo de partida, y buscando combinaciones diferentes se pueden conseguir muchos efectos. También se pueden colocar, por ejemplo, cuatro espejos en lugar de tres. Si ponemos cuatro espejos iguales formando ángulos de 90º, obtenemos un infinito reflejo simétrico cuadrado muy llamativo, que me recuerda a la siguiente ilustración del artista M.C.Escher:

En el artículo de la Wikipedia dedicado al caleidoscopio se afirma que este aparato fue inventado por David Brewster en 1816. Un colaborador de la Wikipedia ha completado el artículo afirmando poéticamente que "el caleidoscopio puede transportarte a un mundo, que por una extraña razón es el lugar mismo donde se fabrican los sueños y las canciones de cuna". Efectivamente, es extraña la razón de que las construcciones geométricas, las simetrías, los giros, sean capaces de crear mundos mágicos de misterio y ensueño.
No son pocas las películas que utilizan el tema de los espejos para crear escenas llenas de magia y evocación. En muchas se aprovecha dicho tema para ubicar en esas escenas los momentos álgidos del argumento, conflictos terribles, luchas épicas. Recordemos, por ejemplo, las escenas finales de La Dama de Shanghai, protagonizada por Orson Welles y Rita Hayworth, de las cuales incluimos un fotograma a continuación:

También tenemos la lucha final de Operación Dragón, la mítica película de Bruce Lee (véase la ilustración más abajo), y se me viene al recuerdo unas escenas de Conan el Destructor, protagonizada por Arnold Schwarzenegger, Grace Jones y el impresionante jugador de la NBA Wilt Chamberlain (que todavía conserva el récord de los 100 puntos en un solo partido, y otros 71 récords más).

En el Parque de las Ciencias de Granada, existe una Sala dedicada a la percepción, en la que entre otras experiencias se muestran varias actividades con espejos. Una de ellas, concretamente, es un espacio en forma de triángulo equilátero rodeado por tres espejos; la persona que se introduce en ese espacio ve su imagen multiplicada hasta el infinito entre los espejos, como si se encontrara en el interior de un caleidoscopio.

[imagen extraída de flickr]
Poder entrar y situarse entre los tres espejos, y contemplar el reflejo en ellos, es una experiencia inquietante, porque no sólo nos podemos ver de frente, sino que también vemos nuestro perfil y nuestra espalda, en vivo y en directo, lo cual suele parecernos extraño y es posible que hasta nos cause rechazo y cierto complejo. Hay que tener en cuenta que cada uno de nosotros tiene una imagen idealizada de sí mismos, que no coincide con la realidad, y cuando tenemos la oportunidad de contemplar por primera vez esa imagen real, nos suele parecer peor de lo que es, y surge un sentimiento de mucha vergüenza, porque nos damos cuenta de que esa imagen de nosotros que nos desagrada es la que ven continuamente las personas que nos rodean.
La geometría también es un instrumento particularmente evocador, por ejemplo, en tiempos como la Navidad. Los motivos geométricos navideños son abundantes: los copos de nieve, con su simetría hexagonal, la estrella de Belén, habitualmente de cinco puntas como el pentagrama pitagórico, los abetos en su forma triangular-cónica y ligeramente fractal, las piñas de los abetos, que esconden entre sus escamas espirales con números de Fibonacci, las bolas navideñas de colores, como esferas perfectas, etc... No es de extrañar que la Navidad sea un momento perfecto para regalar caleidoscopios y disfrutar de su contemplación mientras dejamos que vuele nuestra fantasía...
Para terminar, quiero comentar que existe una asociación, la Brewster Kaleidoscope Society, dedicada a los aficionados a los caleidoscopios y que lleva precisamente el nombre de Brewster en honor al inventor del caleidoscopio; en su página web se detalla una extensa biografía de aquel portentoso científico escocés que destacó en muy diversos campos, contribuyendo a la ciencia no sólo con la invención del caleidoscopio (con mucho su logro más popular), sino con el perfeccionamiento del estereoscopio, la invención de esas lentes cortadas en capas usadas en los faros, el estudio de las leyes de la polarización de la luz y de la reflexión de la luz sobre los metales, y otras muchas propiedades ópticas muy importantes y de uso corriente hoy en día.

15.11.09

Tres cuartos de asesinato

Cuaderno de bitácora: como quiera que en las largas horas de matenavegación también dedico tiempo a mi amor por la literatura, desde hace meses he estado leyendo poco a poco Las aventuras del buen soldado Svejk, de Jaroslav Hasek, "una de las novelas más hilarantes y subversivas de la literatura universal, en la que se da vida al entrañable y humilde soldado Svejk, enrolado en el ejército austrohúngaro durante la Primera Guerra Mundial" y en la que aparece inesperadamente un pasaje curioso que no me resisto a reflejar en el blog.



Svejk, debido a una circunstancia estúpida, pierde el tren con destino a Budejovice, tren que le tenía que llevar a incorporarse al regimiento 91, al que pertenece. Entonces decide dirigirse a Budejovice a pie, atravesando pueblo tras pueblo, y en uno de esas poblaciones es arrestado por los gendarmes y acusado de deserción o, lo que es peor, de espionaje.
El centinela llevó a Svejk al despacho. El jefe de los gendarmes lo invitó a sentarse con un gesto amistoso y comenzó a interrogarlo de nuevo. Para empezar, le preguntó si sus padres vivían:
-No.
El jefe de los gendarmes pensó enseguida que era mejor así, al menos nadie tendría que llorar por aquel desdichado. Entonces miró la cara bondadosa de Svejk y en un repentino impulso de cordialidad le dio unos golpecitos en la espalda, se inclinó hacia él y le dijo en tono paternal:
-¿Se encuentra a gusto en Bohemia?
-Me encuentro a gusto en todas partes, en Bohemia -respondió Svejk-; por el camino me he encontrado muy buenas personas.
El jefe de los gendarmes asintió con la cabeza:
-En nuestro país la gente es buena y cordial. De vez en cuando hay algún robo o alguna pelea, delitos sin importancia. Ya hace quince años que estoy aquí, y si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año.
-¿Se refiere a un asesinato incompleto? -preguntó Svejk.
-No, no quiero decir eso. El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos. Cinco fueron con robo y los otros seis homicidios comunes, de los que apenas tienen importancia.
El jefe de los gendarmes hizo una pausa y después retomó su método de interrogatorio:
-¿Y qué pretendía hacer en Budejovice?
-Incorporarme al regimiento 91.
"Si hago un cálculo, resulta que se producen tres cuartos de asesinato por año... El hecho es que durante quince años sólo hemos investigado once asesinatos..." De repente, como quien no quiere la cosa, en medio de este clásico de la literatura checa, aparece un pequeño problema de comparación de fracciones.

Se han producido once asesinatos en quince años, eso quiere decir una proporción de 11/15 de asesinato por año. Pero el jefe de los gendarmes no se queda con esta fracción, sino que la redondea a 3/4 directamente. No son las mismas fracciones, pero ¿son parecidas?

¿Qué faltaría para que haya exactamente tres cuartos de asesinato por año? (las respuestas a estas preguntas están en los comentarios)

No son éstas las únicas matemáticas que aparecen en la genial obra de Hasek. Las matemáticas se filtran como ladrones en la noche en los lugares más insospechados, y las grandes novelas de la literatura universal no están libres de ellas. Más adelante, en el mismo libro, una vez que Svejk ha esquivado a los gendarmes y se ha logrado reunir con su regimiento y éste se dirige en tren hacia el frente de Rusia, continúa contando Hasek:
El capitán Ságner recibió una delegación de la "Asociación para el acogimiento de los héroes", que consistía en dos señoras completamente agotadas. Éstas le entregaron un regalo para el tren, es decir, veinte cajitas de caramelos perfumados, artículos de propaganda de una fábrica de dulces de Budapest. Las cajitas eran metálicas y en la tapa estaba pintado un soldado húngaro dando la mano a un militar austríaco; encima de ellos, resplandecía la corona de san Esteban. Alrededor, había una inscripción en alemán y en húngaro: "Por el emperador, Dios y la patria".
La fábrica de dulces era tan leal a la monarquía que había puesto al emperador antes que a Dios.
Cada cajita contenía unos ochenta caramelos, de modo que tocaban a cinco pastillas para cada tres personas.
Según esto último, podemos plantear la siguiente cuestión: ¿de cuántas personas se componía el regimiento? Es un problema sencillo cuya respuesta la he puesto en los comentarios a esta entrada.

PD: matenavegando, hemos encontrado el blog titulado Matemáticas Recreativas, y en él un problema, precisamente, sobre cajas de caramelos. Los autores del blog lo han propuesto para que se les mande la respuesta. Invito al lector a que lo intente resolver, aunque por mi parte ya mandé la respuesta y está en los comentarios de dicho problema.

13.11.09

[El Problema de la Semana] El concurso de música

Otro de los problemas que en su momento incluí en doDK es el que traemos a continuación. Es un problema muy sencillo.
Recuérdese que más abajo se incluye la solución del problema. El lector que quiera resolverlo por sí mismo no debe leer más allá de la ilustración.

En un concurso de música han acudido siete participantes, y el jurado ha decidido que participen en el siguiente orden: Dolores Pérez, Remedios García, Miranda Fernández, Fátima Rosales, Soledad Moreno, Laura Martín, Silvia Hermosillo.
Las concursantes aceptan el orden de participación pero se preguntan el porqué de dicho orden.

¿Sabrías tú explicar por qué el jurado ha decidido que participen en dicho orden?

[En la imagen, la cantante de jazz Diana Krall. Fotografía de Skip Bolen]

Solución: el orden se ha seguido según la propia escala musical; si nos fijamos en las primeras letras de cada nombre nos daremos cuenta de que coinciden con las notas musicales.

10.11.09

Sobre Gauss


Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano
Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.
Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.
Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]
El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.
En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2k + 1, con k = 2n [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].
Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.
En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.
En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.
Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".
Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.
El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.
Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.
Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.
Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.
En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.
En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.
Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.
Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.
Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

6.11.09

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración:
Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco:
El truco de la alambrada
Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar.
Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El mago la sostiene a sus espaldas (o debajo de la mesa) durante unos 30 segundos. Cuando vuelve a mostrarla, la cuartilla está cubierta de arrugas y marcas que forman una teselación regular a base de hexágonos (como la de la figura). ¿Cómo hacerlo? Casi todo el mundo acusa al mago de haber presionado la cuartilla contra un trozo de alambrada de gallinero, pero en realidad las marcas se han hecho usando las manos nada más.
Martin Gardner, al final del capítulo, comenta la solución (no siga leyendo si quiere intentar resolver el pasatiempo por sí mismo):
Para dejar marcada una cuartilla de papel con un entramado hexagonal, se empieza enrollando la cuartilla y formando un tubo de un centímetro o centímetro y medio de diámetro. Pellizcando uno de los extremos del tubo entre los dedos índice y pulgar de la mano izquierda, se aplasta esa boca hasta dejarla plana. Manteniendo con la mano izquierda la presión en el mismo lugar, se aplasta el tubo entre el índice y el pulgar de la mano derecha en un punto tan cercano al anterior como se pueda, pellizcándolo en un plano perpendicular al del aplastamiento anterior. Hay que apretar fuertemente con ambas manos, y al mismo tiempo empujar los aplastamientos el uno hacia el otro, a fin de hacer que las líneas de los pliegues sean lo más nítidas posible. Ahora es la mano derecha la que mantiene la presión mientras con la izquierda se hace un tercer aplastamiento adyacente y perpendicular al segundo. Se prosigue de igual modo, cambiando alternativamente de mano al ir avanzando a lo largo del tubo, hasta haber pellizcado el tubo entero. (Los niños suelen hacer esto mismo con pajitas de refresco, para hacer "cadenas".) Se desenrolla el papel. Al hacerlo, vemos en él una teselación hexagonal sumamente desconcertante para el no iniciado.
John H. Coker me escribió diciendo que cuando él iba a la escuela, a comienzos de los años treinta, en Yugoslavia, su maestro arrollaba y aplastaba de este modo las notas dirigidas a otros profesores. Por ser extremadamente difícil desenrollar un tubo así y volverlo a enrollar exactamente como estaba antes, el tubo ponía el mensaje a salvo de los niños encargados de transmitir la nota.
Este truco tiene mucho éxito entre todas las personas que lo contemplan, y los grumetes se entusiasman con él, haciéndose rápidamente muy popular en cuanto se enseña.

2.11.09

El hundimiento de doDK

Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe.

Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos.



Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil.

Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar.

Así ha permanecido durante meses y años amarrada a puerto, hasta que Yahoo ha decidido la clausura del muelle de Geocities, y no ha habido más remedio que dejar que doDK, humilde pero valiente nave, se hunda en el mateocéano con todos los honores.

Sin embargo, muchas de las mercancías que guardaba en la bodega se han podido salvar del naufragio, y así, poco a poco, en este mismo blog, iremos publicando los artículos, curiosidades, problemas y pasatiempos que contenía, aprovechando la ocasión para corregirlos, actualizarlos y ampliarlos.