26.2.10

[El Problema de la Semana] Los güisquis

Otro sencillo problema publicado en doDK, aunque hemos cambiado el protagonista y el tipo de bebida.

Un escocés y medio se bebe un güisqui y medio en un día y medio. ¿Cuántos güisquis se beben seis escoceses en seis días?

¿La solución? ¿dónde? Pues como siempre... más abajo de la imagen.

[En la imagen, tomada de Wikimedia Commons, un gaitero escocés, con su precioso traje de gala. De Escocia es un matemático muy conocido, John Napier, el descubridor de los logaritmos. Su apellido, Napier, adaptado, da nombre a los logaritmos neperianos]

Solución:
Se puede resolver paso a paso, o aplicando una regla de tres compuesta.
Si un escocés y medio se bebe un güisqui y medio en un día y medio, entonces, en un solo día se bebe un solo güisqui. El doble de escoceses, tres, se beberán en un solo día dos güisquis, y el doble, seis escoceses, se beberán en un solo día cuatro güisquis.
Por tanto, seis escoceses se beberán en seis días 6 · 4 = 24 güisquis.

Nota: aunque es un problema muy sencillo, la primera vez que leí el enunciado me dejó perplejo eso de un escocés y medio, y me gustó el ritmillo de la frase, que parece querer convertirse, cualquier día, en una tonta canción infantil, acompañada, por supuesto, de un fondo de gaitas escocesas.

22.2.10

Matemáticas y cine: Dentro del Laberinto

Cuaderno de bitácora: parece que todos los cursos, en el Barco Escuela, estoy recurrentemente destinado a repetir a los grumetes los mismos temas. Uno de ellos surge cuando les presento al maravilloso y popular pintor M. C. Escher, y les muestro algunos de sus cuadros. Hay uno de ellos, Relatividad, que es muy conocido, y representa una especie de lugar fantástico, una casa o castillo, en el que las tres dimensiones van intercambiándose el papel de arriba-abajo, izquierda-derecha, delante-detrás. El dibujo parece estar presidido por escaleras que son subidas y bajadas por individuos anónimos, pero no hay una dirección para subirlas o bajarlas, sino que la referencia es relativa a cada individuo: para cada uno de ellos la perspectiva arriba o abajo, izquierda o derecha, delante o detrás, es diferente. El castillo se abre en arcos y balcones a un exterior que también es distinto en cada perspectiva, haciéndolo imposible de conciliar para la imaginación de los que observamos la escena.
En este mundo de fantasía plasmado por Escher, los individuos sin rostro parecen autómatas incapaces de interactuar entre sí, cada uno vive atrapado por su propia perspectiva y situación, carecen de ojos para ver, quizás porque la visión sería incomprensible para su cerebro, y también carecen de oídos y de boca, porque el diálogo entre ellos es inútil, pues nunca podrán ponerse de acuerdo en una forma común de ver el mundo.
Propongo al lector que observe por un momento el cuadro y agrupe los diferentes personajes anónimos por conjuntos, cada uno con la misma perspectiva. Por ejemplo, en la esquina superior izquierda, hay una pareja que camina dándonos la espalda, y a su lado un personaje apoyado en un pretil, y un poco a la derecha otro personaje que baja una escalera, los cuatro con la misma orientación y perspectiva. O, en la esquina inferior derecha hay dos individuos sentados a una mesa delante de lo que parecen comestibles, y un poco a la izquierda se ve a otro, con la misma orientación, bajando una escalera y llevando en su mano izquierda una bandeja con una botella. ¿Cuántas perspectivas hay en total? ¿Cuántos personajes pertenecen a cada orientación?
Supongo que se puede filosofar mucho sobre el significado de la imagen de Escher, y sacarle un paralelismo con la situación del mundo actual y la actitud de tantos sectores radicales y fanáticos de la sociedad respecto a los demás sectores. Sin embargo, el título del cuadro lo resume todo: relatividad, todo es relativo, cada persona interpretará su mundo de acuerdo a su propia visión y la comprensión mutua llegará cuando sepamos ver esa misma relatividad en la que se envuelve todo, o cuando seamos capaces de ponernos de acuerdo en elegir perspectivas comunes.
A los grumetes, en clase, les comento que éste es un cuadro utilizado en una hermosa película: Dentro del Laberinto (Labyrinth), que les recomiendo encarecidamente para que la vean si no lo han hecho ya.
Personalmente, la película Labyrinth está ligada a diversos recuerdos nostálgicos de mi adolescencia. Con diecisiete o dieciocho años formaba parte de una pandilla de amigos y amigas del colegio, salíamos a pasear, a tomar algo en alguna cafetería, a visitar juntos los centros comerciales, a ir al cine, etc. Una de las películas que proyectaron en las pantallas de aquella época fue Dentro del Laberinto. Quizás sea que recuerdo aquellos años y los vuelvo a ver con los ojos soñadores de un adolescente, pero estoy convencido que fue una de las mejores épocas para el cine. En las pantallas se estrenaban películas llenas de fantasía e imaginación; fueron los años del triunfo de Steven Spielberg y George Lucas, los años en los que se estrenó, por ejemplo, la que considero mejor película de toda la saga Star Wars: El Imperio Contraataca; los años en los que apareció Indiana Jones, Blade Runner, Alien, Excalibur, Galáctica, Terminator, Rocky, y tantos otros títulos que luego han dado lugar a sagas, remakes e imitaciones.
En Sevilla, en la calle República Argentina, existe todavía una tienda de la cadena Vips que fue abierta en aquellos tiempos. Disponía de lo último en videos y libros, y entre los que exponía pude hojear un libro dedicado a los personajes de la película Dentro del Laberinto. El libro se ilustraba con una enorme cantidad de dibujos y bocetos de los monstruos de la película, duendes, ogros, goblins, describiendo cada uno de ellos, sus características, sus ocupaciones, su comportamiento, etc. Aquella imagen del libro lleno de dibujos y bocetos se me ha quedado grabada en la memoria, como un permanente estímulo para la imaginación. Éste es uno de los momentos atesorados de mi adolescencia, que envuelto en el glamour de la tienda Vips, en el ambiente de mi pandilla y en la magia del cine, siempre que lo recuerdo me produce un profundo estremecimiento emocional.
En Labyrinth, la joven Sarah (interpretada por Jennifer Connelly) debe rescatar a su hermano pequeño, que ha sido secuestrado por el rey de los goblins, Jareth (interpretado por David Bowie). Para ello debe introducirse en el reino de los duendes y atravesar el laberinto que se extiende delante del castillo de Jareth, y llegar al castillo antes de que se cumplan las trece horas asignadas para el rescate.
Al principio de la película, podemos ver la habitación de Sarah; en una de sus paredes destaca un póster con el grabado Relatividad de Escher que hemos puesto arriba. Los autores del filme han colocado allí el grabado como una referencia al autor holandés, pues se han inspirado en su obra para plasmar el interior del castillo de Jareth, que tiene una disposición similar a la representada en el cuadro y que vamos a conocer al final de la película, en el momento del desenlace. Es entonces cuando sola y metida en una especie de mundo onírico, Sarah llega al castillo y se encuentra un salón incomprensible lleno de puertas y escaleras colocadas en imposibles perspectivas, por las que el rey de los goblins juega a bajar y subir, salir y entrar, violando las leyes de gravedad y retando a Sarah en un último juego de ingenio e imaginación. La joven trata de llegar hasta donde se encuentra su hermano Toby, pero éste se aparece siempre en la escalera equivocada y se muestra inalcanzable, por mucho que Sarah se esfuerza en encontrar el camino correcto. La muchacha deberá tener fe y romper la ilusión saliéndose de las normas retorcidas que quiere imponerle el rey de los goblins, para rescatar finalmente a su pequeño hermano.
Hay un momento en el filme que también tiene una referencia matemática muy concreta. Es el momento en el que Sarah se enfrenta con dos puertas, delante de las cuales hay dos personajes extraños, cada uno de ellos cubierto por un escudo tras el que se asoma una cabeza por arriba, otra por abajo, varias manos y varios pies. Los personajes informan a la joven que una de las puertas conduce directamente al castillo del rey de los goblins, y la otra a una muerte segura. Para averiguar cuál es la puerta buena, las reglas son que Sarah sólo podrá hacer una pregunta y sólo a uno de los dos personajes, pero uno de ellos siempre miente y el otro siempre dice la verdad, y la joven no sabe cuál es cada cual. Así que después de pensar unos momentos Sarah se acerca a uno de ellos y le hace la pregunta correcta: "¿Me diría tu compañero que ésta es la puerta que lleva al castillo?", y cuando le contesta que sí, entonces la chica deduce que la puerta buena es la otra (piense el lector por qué).
Éste es uno de los problemas más conocidos en el que aparecen personajes que siempre dicen la verdad y otros que siempre mienten, y que a través de lo que dicen, hay que deducir cuál es la verdad. Existen libros enteramente dedicados a este tipo de problemas de lógica.
El mismo problema aparece en el filme español La habitación de Fermat, y uno de sus protagonistas afirma que lo vio en una película; es evidente que se está refiriendo a Dentro del Laberinto.
Notas: para contemplar la obra de Escher, es recomendable visitar su página oficial.

19.2.10

[El Problema de la Semana] Las cuatro tarjetas

Esta semana el problema ha ido de darle vuelta a las tarjetas:

Tenemos cuatro tarjetas blancas. Por el otro lado son todas azules. Hay que dar la vuelta a las tarjetas para que queden todas mostrando su lado azul, pero en cada movimiento se le debe dar la vuelta obligatoriamente a tres (y sólo tres) tarjetas a la vez. ¿Cómo conseguirlo?


Como siempre, ponemos una imagen para que no aparezca la solución demasiado pronto. Para consultar la solución mirar más abajo de la imagen.

[Las tarjetas nos recuerdan a las construcciones con cartas de póker, y matenavegando nos hemos encontrado a Bryan Berg, un especialista en levantar enormes torres de cartas, como la de la fotografía. Bryan ostenta diversos récords Guinness sobre su habilidad. Recomiendo visitar la página de Bryan Berg, donde se pueden ver, entre otras cosas, videos impresionantes de sus trabajos]

Solución: aunque en principio el problema me pareció que podía ser complicado, cuando uno se pone a resolverlo encuentra el camino en pocos pasos.
Así, para el primer paso, damos la vuelta a tres cartas cualesquiera, por ejemplo las tres primeras.
Luego, le damos la vuelta a otras tres que no sean las mismas de antes, por ejemplo las tres últimas, y nos queda la siguiente combinación:

Se va viendo que en el primer movimiento, conseguimos que nos quedara una carta blanca, en el segundo nos quedan dos cartas blancas, en el tercero que vamos a hacer, buscaremos que nos queden tres cartas blancas, que serán las que se darán la vuelta en el cuarto movimiento para que al final se muestren las cuatro azules. Por tanto, el movimiento correcto que hemos de hacer ahora es el de girar las dos azules y una de las blancas, por ejemplo la primera, la tercera y la cuarta:
Ya tenemos, como queríamos, tres cartas blancas, y las giramos las tres, llegando al resultado que queríamos:

Nota: este problema ha sido extraído del libro de texto de 3º ESO, editorial Anaya.

15.2.10

Un padre de 220 años

Cuaderno de bitácora: esta mañana, corrigiendo problemas de ecuaciones en el Barco Escuela, me encontré con uno bastante llamativo y he decidido reflejarlo en el diario de matenavegación.

Es uno de los problemas que propone nuestro libro de texto, va sobre edades y se resuelve con una ecuación de segundo grado. El enunciado del problema es el siguiente:
La edad de Luis es 22 veces la de su hija y dentro de cinco años será su cuadrado. ¿Qué edades tienen actualmente ambos?
El planteamiento del problema es estándar, como debe hacerse con todos los problemas de edades:
ahora  -  la hija tiene x años; Luis tiene 22x años
dentro de cinco años  -  la hija tendrá x + 5 años; Luis tendrá 22x + 5 años
"Dentro de cinco años, la edad de Luis será el cuadrado de la edad de su hija" nos lleva a la siguiente ecuación:
22x + 5 = (x + 5)2; resolvemos
22x + 5 = x2 + 10x + 25; pasamos todo al primer miembro y hacemos operaciones
−x2 + 12x − 20 = 0
Hemos obtenido una ecuación de segundo grado, y si la resolvemos, con la típica fórmula,


nos salen dos soluciones: x1 = 2, x2 = 10.

Si tomamos el primer resultado, x1 = 2, la hija de Luis tiene 2 años y Luis tiene 44 años. Parece una solución razonable.

Pero si tomamos el segundo resultado, x2 = 10, nos sale que la hija de Luis tiene 10 años, y ¡Luis tiene 220 años!

Los comentarios de los grumetes son unánimes cuando se lo explico en la pizarra: ¡esta solución no es válida!, ¡la única buena es la primera, la de los 44 años de Luis y los 2 años de su hija!, ¡nadie tiene 220 años! Sin embargo, yo no puedo evitar que mi imaginación busque alguna posibilidad para que esto sea factible...

Lo primero que me viene al pensamiento, gracias a mi afición a la literatura, son los elfos de El Señor de los Anillos, personajes como Elrond, Galadriel o Arwen, inmunes a la vejez y a las enfermedades, con vidas que se extienden durante cientos y miles de años. Luis puede ser un elfo, que a la edad de 210 años decidió tener una hija...


Luego trato de imaginarme alguna situación en nuestro mundo real en la que se pueda dar el caso que estamos tratando. Evidentemente, no se conoce con certeza ninguna persona que haya pasado de doscientos años; consultando un libro de los récords Guinness, encontramos personas que han llegado hasta los 120 años.

Sin embargo, en el libro del Génesis tenemos citas de antiguos patriarcas que alcanzaron edades fabulosas; el caso más paradigmático es el de Matusalén, que llegó a vivir 969 años. En general, se afirma que antes del Diluvio la edad de los seres humanos se acercaba a los mil años, y después del Diluvio, Dios acortó la vida de los hombres hasta los ciento veinte años (Génesis, 6:3). Es curioso que precisamente éste número coincida con el récord de vida de las personas más longevas conocidas, ¿Estará programado el ser humano en realidad para vivir ciento veinte años si no fuera por las enfermedades y el envejecimiento prematuro? Si nos ubicamos en el libro del Génesis, Luis y su hija son personajes bíblicos, pertenecientes a la época anterior al Diluvio Universal.

Otra posibilidad es la siguiente: existe la leyenda de un lugar de los Himalayas, llamado Shangri-La, en el que reina la paz y la felicidad, el tiempo se detiene y las personas pueden alcanzar vidas muy largas, de más de doscientos y trescientos años. Entonces, Luis y su hija viven en Shangri-La.

Por último, y entrando en el mundo de lo científicamente posible, Luis puede alcanzar los 220 años de varias maneras:

-Usando la criónica o la animación suspendida, para mantenerse vivo, y ser reanimado en el futuro, a finales del siglo XXII, para entonces tener a su hija.

-Partiendo de la Tierra en una nave que se acerque mucho a la velocidad de la luz; en este caso, por la teoría de la relatividad, el tiempo pasaría mucho más lento para los astronautas de la nave que para los que nos quedamos en el planeta Tierra. Cuando esa nave regresase a finales del siglo XXII, para nosotros habrán pasado ciento ochenta años, pero para los astronautas puede que sólo hayan pasado cinco o diez años. Luis es un astronauta de la nave, que al regresar, tendrá a su hija.

-Luis puede alargar la vida de su cuerpo con algún método biológico hoy todavía desconocido, reemplazando glándulas envejecidas, empleando hormonas o medicina genética, o algo similar.

Con tantas opciones diferentes, ¿seguiremos pensando que la solución x2 = 10 no es válida?

14.2.10

2001 Una odisea del espacio: El misterioso monolito

Hoy, otro de los artículos de doDK, sobre Matemáticas y Cine, dedicado a la película 2001: Una Odisea del Espacio. Como en todos los artículos que estamos rescatando del naufragio de doDK, hemos aprovechado esta ocasión para corregir y ampliar el texto.
Para aquél que todavía no ha visto la película, avisamos que en este artículo comentamos ampliamente sobre su argumento, y no es nuestra intención estropear (spoil, en inglés) la intriga, así que si quiere ver el filme sin ideas preconcebidas, ¡no siga leyendo!


Quizás lo más recordado de esta película sea su banda sonora, donde aparece esa magnífica composición titulada Así habló Zaratustra de Richard Strauss. Los acordes rotundos se van escuchando mientras un supuesto precursor del homo sapiens aprende a manejar un hueso, golpeándolo violentamente contra otros huesos esparcidos por el suelo. Entre tanto, la escena está siendo contemplada por un misterioso monolito que ha venido de no se sabe dónde y que se convierte después en el núcleo de la película.
El monolito negro y enigmático aparece en ese momento en que comienza el despertar de la raza humana. Resulta ser una especie de guía, un instructor, un objeto cuya presencia es el punto de partida del desarrollo del hombre. No se sabe quién lo colocó allí, pero evidentemente se trata de una inteligencia superior que quiere que el ser humano evolucione, y que en esas épocas de fragilidad para la especie humana viene a ayudar en el desarrollo de destrezas inteligentes que permitirán a los homínidos tomar ventaja frente al ecosistema y las demás especies competidoras.
Posteriormente la película da un salto hacia una época futura situada en los albores del año 2001. Han pasado tres millones de años en los que la especie humana ha evolucionado hasta desarrollar una civilización tecnológica, capaz de emprender los primeros viajes interplanetarios. En la órbita terrestre se está construyendo una gran estación espacial, y los viajes a la Luna son trayectos cotidianos para científicos y astronautas, que han instalado una base permanente en el cráter Clavius.
Durante las investigaciones en la Luna, los científicos descubren otro monolito semejante al que presenció el inicio de la raza humana, enterrado bajo la superficie rocosa del cráter Tycho.  Cuando el extraño objeto es encontrado y desenterrado, y recibe los primeros rayos del Sol, manda una poderosa transmisión de radio hacia Júpiter. El artefacto fue colocado en la Luna como una especie de alarma o de avisador de esos seres desconocidos que ayudaron a la humanidad en sus comienzos; el que sea desenterrado significa que la raza humana ha triunfado en su desarrollo tecnológico, y es capaz de salir de su propio planeta, y el monolito está programado para mandar un mensaje con la noticia.
Los científicos deciden enviar una nave, la Discovery, hacia el planeta joviano, tripulada por varios cosmonautas entre los que se encuentra el protagonista, David Bowman. Tras sufrir ciertos contratiempos con el ordenador de a bordo HAL 9000, Bowman llega por fin a las cercanías de Júpiter y se encuentra allí, en medio del espacio, otro monolito, semejante a los dos primeros, pero de un tamaño gigantesco...

La película, dirigida por Stanley Kubrick y basada en un guión escrito por Kubrick y Arthur C. Clarke, es ya todo un clásico, no solo en el género de ciencia ficción, sino en toda la historia del cine. La elección de la forma de los objetos encontrados es uno más de sus aciertos: monolitos, por llamarlos de alguna manera, de unas características muy concretas; su color es negro, opaco, sin reflejo. El material del que están hechos es desconocido y se resiste a todo análisis. Lo único que se puede asegurar es que están fabricados por alguna inteligencia no humana. Pero esta afirmación apenas se insinúa... Es como una verdad que nadie se atreve a aceptar y menos a decir... Todo es misterio...
¿Qué es lo que asegura desde el principio que los monolitos están creados por una inteligencia y no son producto de la naturaleza? En realidad no su color ni su material, sino su perfecta forma geométrica. Las matemáticas son las encargadas de darnos la prueba de que no se trata de objetos aparecidos al azar.
Los científicos de la base lunar Clavius han descubierto el monolito al estudiar los campos magnéticos lunares. En el cráter Tycho se ha detectado una poderosa anomalía magnética que señala la presencia de algo desconocido, y cuando van excavando, se encuentran con el perfecto objeto geométrico, enterrado adrede por una inteligencia extraterrestre hace millones de años.
En la novela que Arthur C. Clarke escribió a la vez que desarrollaba la idea y el guión con Stanley Kubrick, y que publicó casi a la vez que se estrenaba la película, menciona una característica especial del monolito:
Una curiosa, y quizás poco importante, característica del bloque, había provocado discusiones interminables. El monolito tenía 11 pies de alto, y 1¼ por 5 pies en su sección transversal. Cuando sus dimensiones se midieron con gran cuidado, se descubrió que estaban en la proporción exacta 1 - 4 - 9, los cuadrados de los tres primeros números enteros. Nadie podía sugerir ninguna explicación convincente para esto, pero difícilmente podía ser una coincidencia, porque las proporciones se mantenían hasta los límites de la precisión de las medidas. Era humillante pensar que toda la tecnología terrestre no era capaz de dar forma a un bloque, aunque fuera inerte, de ningún material, con tan fantástico grado de precisión. A su forma, esta pasiva pero casi arrogante muestra de perfección geométrica era tan impresionante como cualquiera de los demás atributos del monolito.
Así, pues, cada uno de los bloques es un ortoedro perfecto con unas dimensiones exactas. Si consideramos el ancho como 1 unidad, el largo serían 4 unidades y el alto 9 unidades, es decir, sus dimensiones son proporcionales a los números 1, 4 y 9.


Para hacernos una idea, no se me ocurre otra cosa que compararlo con una pequeña tableta de turrón, que tuviera 1 centímetro de grueso, 4 de ancho y 9 de largo. O bien otra de 2 centímetros de grueso, 8 de ancho y 18 de largo. Ambas tabletas serían semejantes en sentido matemático, aunque por supuesto una sería más grande que la otra, pero las dimensiones de ambas seguirían las mismas proporciones 1:4:9.
Eso es lo que ocurre con los monolitos. Los tres son semejantes, los tres siguen exactamente las mismas proporciones, aunque son de distinto tamaño. En la novela, los científicos que se encargaron de medir el monolito de la Luna reconocen con asombro que las medidas son exactas hasta donde llega la precisión de sus aparatos de medida: no hay el más mínimo error en su fabricación. Son tan perfectos que no parecen del mundo real, como si fueran verdaderamente entes matemáticos ideales plasmados físicamente.
Las proporciones seguidas tampoco son al azar. 1, 4 y 9 son los cuadrados de los tres primeros números naturales, 1, 2 y 3. Al elegir esas proporciones se ha hecho una elección simple pero elegante. En efecto, el porte de los monolitos es estilizado e imponente. Y además, parecen sugerir una sucesión: 1, 2, 3... evidentemente, el siguiente número sería el 4, y en la sucesión de cuadrados, el 16. Si asociamos cada lado con una de las dimensiones del espacio, tenemos representadas en el monolito las tres dimensiones, pero la sucesión apunta hacia una cuarta dimensión, y luego una quinta, una sexta, etc.
Cuando se estrenó, el género de películas de ciencia ficción quedó transformado por 2001: Una Odisea del Espacio. Pero no se aprendieron las lecciones que mostraba en su factura. Se han hecho muchas películas de ciencia ficción con un exceso de efectos especiales que más allá de darles interés, llegan a saturar al espectador. Como si fuera un continuo despliegue de fuegos artificiales, se suceden las explosiones, las naves atravesando la pantalla, las hazañas imposibles en el último segundo. Los guionistas se niegan a representar cómo es el espacio realmente, y son muy pocas las películas que saben combinar un guión inteligente con una puesta en escena correcta y poco fantasiosa.
Es algo ya muy sabido que en el espacio no hay ningún medio por el que se pueda transmitir el sonido.  También sucede que en el espacio, sobre todo si no se viaja a la velocidad de la luz, los vuelos son larguísimos, y se tardan meses e incluso años en llegar de un cuerpo celeste a otro. Además cada planeta es diferente en peso, composición, vida... Un astronauta que llegara a un planeta distinto, aunque este planeta fuera semejante a la Tierra, necesitaría probablemente un periodo de adaptación. Por supuesto, habría un terrible peligro en los posibles virus y bacterias extraterrestres. No hace falta salir del planeta Tierra para tener que sufrir esa adaptación. Cuando viajamos a ciertos países tropicales, necesitamos vacunarnos de numerosas enfermedades. En otros países es corriente padecer males pasajeros por el cambio de agua y de alimentos, así en México es frecuente que los visitantes españoles sufran la venganza de Moctezuma, unas fuertes diarreas que aparecen los primeros días de estancia por culpa del cambio de agua.
Imaginemos entonces lo que puede ser aterrizar en otro planeta. De hecho lo normal es que en otros planetas haya otra fuerza gravitatoria. Si es más ligera ocurriría como en la Luna, los astronautas darían pasos que parecerían saltos, y cualquier objeto lanzado parecería moverse a cámara lenta. Pero en los planetas con mayor masa gravitatoria el cuerpo humano se vería sometido a un peso mayor y los huesos de los astronautas sufrirían horriblemente, les costaría mucho trabajo andar y se agotarían por el más mínimo esfuerzo. Un objeto lanzado al aire caería a plomo sobre el suelo.
Estos pequeños detalles que cualquiera puede entender han sido muy poco explotados por los guionistas de Hollywood, en parte debido a las complicaciones que supone tener que representar estas características. En la serie original Star Trek, estrenada en los años 60, debido al escaso presupuesto y las dificultades en representar un espacio más real, se decidió inventar el teletransporte para evitar que los protagonistas tuvieran que estar usando lanzaderas todo el rato para bajar a los planetas, y también se decidió que las naves tuvieran gravedad artificial. Asimismo, casi todos los planetas visitados tienen características similares a la Tierra, y los protagonistas no necesitan ningún tipo de adaptación ni protección frente al nuevo ambiente del planeta.
Tan solo películas como 2001 se han acercado en sus efectos y planteamiento al espacio real, y sorprendentemente, el resultado ha sido magnífico. La escena en la que el transbordador y la base orbital giran perfectamente acompasados mientras se acoplan, con la música del Danubio Azul de fondo, es de las mejor conseguidas. Contemplar la alargada nave que viaja hacia Júpiter moviéndose mes tras mes en el terrible vacío del espacio, en medio del silencio absoluto, es sobrecogedor. Acercarse a la inmensa mole del planeta más grande del sistema solar realizando maniobras que llevan días enteros te hace respetar y comprender lo que significa un planeta, un planeta entero, gigantesco, para la insignificancia que somos los seres humanos.
Por último la película desemboca en un final enigmático, abierto a todo tipo de especulaciones. Es uno más de los aciertos del film. En dicho final, Bowman se introduce por la puerta estelar que se abre en el monolito de la órbita de Júpiter, atraviesa pasajes interdimensionales flanqueados por luminosos patrones geométricos interminables, desemboca en lugares extraños de la galaxia donde están naciendo constantemente nuevas estrellas entre nubes de gas y polvo, y accede finalmente a algún planeta inimaginado en el que se van desplegando paisajes de colores invertidos, hasta que finalmente la cápsula termina en medio de lo que parece la habitación de un hotel, sintetizada por la misma inteligencia que ha fabricado los monolitos y que ha guiado a la cápsula hasta ese lugar. En una sucesión de escenas silenciosas, Bowman se ve envejeciendo rápidamente hasta morir, y después de hacerlo se convierte en una especie de niño estelar, como si se hubiera transformado y hubiera nacido a una nueva realidad, más allá del espacio tridimensional y de las dimensiones temporales del planeta Tierra.

Notas: para comprender la película a fondo, es importante leer la novela escrita por Arthur C. Clarke. Se lee muy fácil, es muy interesante, y da muchos más detalles de los que se ven en la pantalla. También hay bastantes puntos en los que la novela y la película difieren, a pesar de que Clarke escribía la novela conforme Kubrick filmaba, y que ambos trabajaron juntos para sacar el guión. Las diferencias se explican por la distinta visión que se tiene de la misma historia según se cuente en un libro o se exprese en el cine; además, a la hora de la filmación, los efectos técnicos y especiales permitían ciertas escenas, pero otras escenas resultaban demasiado complicadas de rodar en los años sesenta. Así, por ejemplo, Kubrick situó al tercer monolito en la órbita de Júpiter, mientras que en la novela, el tercer monolito se encuentra erguido sobre la superficie de Japeto, un satélite de Saturno; Júpiter era un planeta más conocido y fácil de representar que Saturno con su sistema de anillos. A mí, personalmente, estas diferencias entre novela y película no me molestan, y me parecen muy interesantes.
Por otro lado, si nos molestamos en medir sobre la pantalla las proporciones del monolito que aparece en la película, es posible que no coincidan exactamente con la terna 1 - 4 - 9. Yo no lo he medido, pero estoy seguro que el negro bloque usado por Kubrick es más estrecho de lo que debería ser, y creo que también más alargado. Así parece tener un aspecto más estilizado y enigmático. En el cine, la proporción de las cosas se varía a menudo para conseguir ciertas sensaciones.
Recomiendo también leer mi otra entrada HAL, IBM y otras naderías, para conocer más detalles interesantes de la película.

12.2.10

[El Problema de la Semana] El jardín

El problema de esta semana fue publicado hace años en doDK, y es bastante sencillo:

Un jardín cuadrado tiene a lo largo de tres de sus lados una valla sostenida por 28 postes espaciados entre sí 2 m. Si hay un poste en cada una de las esquinas, ¿Cuál es el área del jardín?

Debajo, una bonita ilustración. Más abajo, la solución al problema.

[En la foto vemos un laberinto hecho con setos, en el Jardín Botánico VanDusen, en Vancouver, Canadá]

Solución: de los 28 postes tomamos 4 y ponemos uno en cada esquina, y los 24 restantes los repartimos entre los tres lados que rodea la valla, con lo que cada lado cuenta con 8 + 2 = 10 postes, tal y como está representado en el dibujo adjunto:
Como los postes están espaciados entre si 2 metros, y en cada lado hay 9 espacios, cada lado mide 2 · 9 = 18 metros.

El área del jardín cuadrado será 18 · 18 = 324 metros cuadrados.

5.2.10

[El Problema de la Semana] Medias semanales

El problema que hemos propuesto esta semana es bastante sencillo, aunque se necesita tener un  mínimo de sentido común y saber lo que es una media aritmética.


Bartolomé es vendedor ambulante seis días a la semana. Ayer, viernes, calculó que durante esta semana había conseguido una ganancia media de 48 euros diarios. Sin embargo, al hacer la misma cuenta hoy, sábado, resulta una media de 60 euros diarios. ¿Cuánto ha ganado hoy?

Bajo la imagen, ponemos la solución al problema.

[Esta foto fue realizada en 1860 por William Carrick, y representa a un muchacho vendedor de ábacos en San Petersburgo. Ha sido extraída de la National Gallery of Scotland]

Solución: Si el viernes se ha hecho la cuenta, entonces es el resultado de cinco días de ventas es el que da una media de 48 euros diarios, con lo que la ganancia total ha sido 48 · 5 = 240 euros. Si añadiendo el sábado, un día más, la media ha subido a 60 euros, entonces la ganancia total de los seis días incluyendo el sábado es de 60 · 6 = 360 euros. La diferencia entre las dos cantidades será la ganancia concreta del sábado: 360  240 = 120 euros.
Obsérvese una de las características de la media aritmética: mientras que la media de ingresos de los primeros cinco días es de 48 euros, y el último día se han ingresado 120 euros, esta última cantidad ha logrado desplazar la media hasta los 60 euros diarios. La media aritmética no tiene por qué coincidir con ninguno de los valores reales de las mediciones, y se ve muy afectada por resultados extremos. Es conocido el siguiente ejemplo: un día cierto hombre adinerado se come un pollo asado, y ese mismo día otro hombre, que no tiene recursos, se queda sin comer nada. Si hacemos la media aritmética, tenemos que ese día cada hombre se ha comido, de media, medio pollo.
Hay un dato gracioso, pero totalmente cierto, relacionado con todo esto, que encontré en nuestro libro de texto del Barco Escuela y que se lo he puesto a los grumetes como chiste matemático: en la Ciudad del Vaticano hay dos papas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo es posible? Téngase en cuenta que este pequeño país sólo tiene una extensión de medio kilómetro cuadrado...
Nota: el problema de hoy ha sido extraído del libro de texto de matemáticas 3º ESO, editorial Anaya.

2.2.10

Algún día el álgebra os salvará la vida

Cuaderno de bitácora: en diciembre pudimos ver con los grumetes la película de ciencia ficción Planeta Rojo, protagonizada por Val Kilmer, Carrie-Anne Moss, Tom Sizemore y Benjamin Bratt, entre otros, y dirigida por Antony Hoffman.
Personalmente, la película me gustó desde el primer momento que la vi. Es cierto que su argumento puede ser poco original en ciertos puntos, y que a los personajes les falta algo de profundidad y desarrollo. Pero en general, me parece una historia honesta, bien contada, bastante entretenida y con sus puntos de suspense. Los efectos especiales son innovadores y están correctamente realizados, y el retrato de una posible misión a Marte se ha conseguido muy bien, tanto en su parte científica como en el paisaje marciano propiamente dicho.
La película, en su momento, fue un fracaso de taquilla, y de hecho pasó sin pena ni gloria por los cines, casi sin que nadie se enterara. Yo la descubrí en formato DVD, de oferta en unos grandes almacenes, y fue entonces cuando la pude comprar y ver.
El argumento de la película trata de una nave con una tripulación de seis miembros que intenta aterrizar en Marte. Debido a una tormenta solar, la cápsula de aterrizaje se desvía del punto previsto y los astronautas se encuentran perdidos y buscan la forma de orientarse para llegar a la base construida por una misión anterior.
De todos los momentos de la película, hay uno en especial que me encanta. Sé que es un momento un poco tonto, pero llega al sentimiento de cualquier matenavegante. Así dicen los personajes:
SANTEN (interpretado por Benjamin Bratt) - Según los últimos datos fiables, nos encontramos en esta elipse de sesenta por ciento veinte kilómetros.
BURCHENAL (interpretado por Tom Sizemore) - Todos los datos de la misión están aquí. Sólo hay que calcular las variables del aterrizaje. Simple matemática.
GALLAGHER (interpretado por Val Kilmer) - Por fin. Recuerdo que en el Instituto nos decían que algún día el Álgebra nos salvaría la vida.
BURCHENAL (riendo) - Estúpido.
GALLAGHER - Perdona.
Este diálogo resulta ser un pequeño guiño a todos los que han estudiado matemáticas en el colegio y en el instituto y se han preguntado alguna vez para qué pueden servir. También es un guiño a todos los sufridos profesores de matemáticas que día tras día luchan para enseñar una materia cuya mala fama se ha extendido a lo largo y ancho de la historia de la educación. En nuestro Barco Escuela han sido muchas las veces que los grumetes han preguntado para qué sirven, por ejemplo, los polinomios, o las ecuaciones de segundo grado. Yo nunca he llegado a ser tan atrevido como para responderles que el álgebra podría salvarles la vida algún día; simplemente, y de acuerdo al tema que estemos tratando, he procurado hacerles comprender la utilidad de lo que se enseña. En el caso de los polinomios, por ejemplo, les he dicho que son como el abecedario del álgebra, que aprender a manejar con soltura las operaciones de números y letras les preparaba para entender y poder aplicar cualquier fórmula o expresión matemática, y que las fórmulas aparecen donde menos se esperan: en el contrato de una cuenta bancaria, por ejemplo. Si uno no aprende polinomios, no sería capaz de manejar fórmulas correctamente, salvo aquéllas que sean extremadamente sencillas.
Las matemáticas son básicas para todo lo que necesite un mínimo de tecnología. Sin matemáticas, la civilización quedaría reducida a una sociedad tribal que viviría de la caza, de la pesca y de la recolección de frutos; con la agricultura nacieron, en el remoto pasado de hace miles de años, las primeras nociones matemáticas. Los egipcios y los mesopotámicos, por ejemplo, necesitaron de las matemáticas para medir las superficies de cultivo, (geometría significa literalmente, "medida de la tierra"), también para realizar cálculos del tránsito del sol, la luna y los planetas y elaborar calendarios exactos que les permitieran saber las fechas más apropiadas para cultivar, y luego fueron utilizando esas mismas matemáticas en los primeros recuentos estadísticos, en la arquitectura para levantar grandes monumentos, etc.
En la película que estamos tratando, las matemáticas están presentes no sólo en el diálogo que hemos mencionado más arriba, sino como base de todos los aspectos tecnológicos avanzados que se mencionan. Un viaje a Marte, como el que se presenta en la película, es factible con la tecnología que tenemos hoy en día, lo único que hace falta es el presupuesto y la voluntad para realizarlo. Nos encontramos actualmente en una era de gran avance tecnológico (aunque no necesariamente de avance en otros campos de la sociedad), y esto es debido a la contribución de las matemáticas.
En Planeta Rojo, además, la entrenada vista de un matemático reconoce al momento numerosas apariciones de aritmética, geometría, análisis, etc.
Así, por ejemplo, podemos hacer unos sencillos cálculos aritméticos con el tiempo que deben emplear Gallagher y sus dos compañeros en llegar hasta la cápsula soviética que puede salvarles, 19 horas, a las que hay que quitar al menos cinco debido a una tormenta de polvo y a los preparativos para hacer despegar la cápsula, junto con la distancia que deben recorrer, 100 kilómetros, lo que nos lleva a deducir la velocidad a la que deben caminar por Marte, al menos a 7 kilómetros por hora, velocidad bastante alta, casi de trote, pero que se supone que puede mantenerse en la baja gravedad marciana, aunque los astronautas avancen con sus pesados trajes puestos y en una atmósfera muy sutil y fría.
También podemos estudiar la forma geométrica de la cápsula en la que bajan los astronautas a Marte: es un poco extraña, y nos ha resultado bastante difícil de encontrar: un dodecaedro rómbico truncado (véase la ilustración, extraída de la Wikipedia). Justo antes de impactar contra el suelo marciano la cápsula despliega un globo o balón desde cada una de sus caras, como gigantes airbags que pretenden proteger a la tripulación de los violentos golpes, y vemos entonces un cúmulo de esferas, apiñadas como un perfecto racimo de uvas, que nos recuerdan los problemas de empaquetamientos de esferas, los cuales no son nada sencillos.
La infinidad de cálculos que tiene que hacer la computadora de a bordo, la cartografía del planeta, las órbitas alrededor de Marte que describe la nave, el tiempo que tarda la comunicación por radio de los astronautas en ser captada y respondida desde la Tierra... todos estos detalles no pueden escapar a una mente con un mínimo de cultura matemática.
El Matenavegante, desplazándose impertérrito en un inmenso piélago de conocimiento numérico, sí tiene claro que el álgebra en cualquier momento nos puede salvar la vida, porque en realidad, para él, el álgebra y las demás ramas de las matemáticas son la vida misma.
PD: Me ha venido al recuerdo que en otra película, bastante desconocida, llamada El Círculo de Hierro, o también La Flauta Silenciosa (Circle of Iron o The Silent Flute, de 1978, protagonizada por David Carradine, Jeff Cooper y Christopher Lee, y con guión de Bruce Lee), un guía o maestro le comenta a su discípulo: "Un día un pez me salvó la vida". "¿Cómo?" le pregunta el discípulo, y el maestro le responde: "Se dejó comer".
Imitando a este maestro, yo mismo podría decir: "El álgebra me ha salvado la vida". "¿Cómo?". "Enseñando álgebra me gano un sueldo que me permite comer a diario".