23.1.15

Cuando pi fue tres

A principios de abril del año 1998 apareció en el grupo de noticias talk.origins un artículo que decía así:

HUNTSVILLE, Alabama. - Ingenieros y matemáticos de la NASA en esta ciudad de la alta tecnología están impactados y enfurecidos después de que el estado de Alabama aprobara ayer por un estrecho margen una ley que redefine pi, una constante matemática usada en la industria aeroespacial. El proyecto de ley que quiere cambiar el valor de pi a exactamente tres fue introducido sin algarabía por Leonard Lee Lawson, y rápidamente fue ganando apoyos tras una campaña por correo hecha por los miembros de la Sociedad Salomón, un grupo que lucha por los valores tradicionales. El gobernador Guy Hunt dice que firmará el proyecto para que se convierta en ley el próximo miércoles.

La ley ha tomado a la comunidad tecnológica del estado por sorpresa. "Habría sido correcto si hubieran consultado con alguien que realmente usa pi", dijo Marshall Bergman, un director de la Organización de Defensa de Misiles Balísticos. Según Bergman, pi es una letra griega que significa la proporción o razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro. Los ingenieros la usan a menudo para calcular trayectorias de misiles.

La profesora Kim Johanson, una matemática de la Universidad de Alabama, dijo que pi es una constante universal y no puede ser cambiada arbitrariamente por los legisladores. Johanson explicó que pi es un número irracional, lo que significa que tiene un número infinito de dígitos después del punto decimal y nunca puede ser conocido con exactitud. Sin embargo, dijo ella, pi está precisamente definida por los matemáticos para ser "3.14159, más todos los dígitos que se tenga tiempo de calcular."

"Yo creo que son los matemáticos los que están siendo irracionales, y ya es hora de que lo admitan", dijo Lawson. "La Biblia dice muy claramente en Reyes 1, 7:23 que la pila de purificación del Templo de Salomón tenía diez codos de ancho y treinta codos de diámetro, y que era perfectamente redonda."

Lawson puso en duda la utilidad de cualquier número que no puede ser calculado exactamente, y sugirió que no llegar a conocer nunca la respuesta exacta puede dañar la autoestima de los estudiantes. "Debemos recuperar algunos valores absolutos en nuestra sociedad", dijo, "la Biblia no dice que la pila fuera treinta y algo codos. Dice claramente treinta codos. Punto."

La ciencia apoya a Lawson, explica Russell Humbleys, un técnico de propulsión en el Centro Espacial Marshall, que ha testificado en apoyo de la ley ante la legislatura de Montgomery el lunes. "Pi es simplemente un artificio de la geometría euclidiana." Humbleys está trabajando en una teoría que dice que demostrará que pi está determinado por la geometría del espacio tridimensional, la cual asumen los físicos que es "isotrópica", es decir, la misma en todas las direcciones. "Existen otras geometrías, y pi es diferente en cada una de ellas," dice Humbleys. Los científicos han asumido arbitrariamente que el espacio es euclidiano, afirma Humbleys. También señala que un círculo dibujado en una superficie esférica tiene un valor diferente para la proporción de la circunferencia a su diámetro. "Cualquiera con un compás, una regla flexible y una esfera lo puede comprobar por si mismo," sugiere Humbleys, "no hay que ser precisamente una lumbrera."

Roger Learned, un miembro de la Sociedad Salomón que estaba en Montgomery para apoyar la ley, se muestra de acuerdo. Ha dicho que pi no es nada más que una suposición de los matemáticos y los ingenieros que estaban allí para argumentar en contra de la ley. "Estos peces gordos han llegado tan campantes a la capital con una impresionante arrogancia," dijo Learned. "Su déficit introductorio ha resultado en una postura polémica en absoluta contraposición con el poder de la legislatura."

Algunos expertos en educación creen que la legislación afectará a la forma en que se enseña matemáticas a los niños de Alabama. Una miembro del comité escolar del estado, Lily Ponja, está ansiosa por incluir el nuevo valor de pi en los libros de texto estatales, pero cree que el antiguo valor debería conservarse como alternativa. Ella ha dicho, "Por lo que a mi respecta, el valor de pi es solo una teoría, y deberíamos abrirnos a todas las interpretaciones." Ponja está muy deseosa de que los estudiantes tengan la libertad de decidir por si mismos qué valor de pi debería haber.

Robert S. Dietz, un profesor de la Universidad del Estado de Arizona que ha estado siguiendo la controversia, escribió que esta no es la primera vez que una legislatura estatal ha intentado redefinir el valor de pi. Un legislador del estado de Indiana trató sin éxito de que dicho estado fijara el valor de pi como tres. Según Dietz, el legislador estaba exasperado por los cálculos de un matemático que había calculado pi hasta cuatrocientas cifras decimales y todavía no había podido conseguir un número racional. Muchos expertos avisan de que esto es solo el comienzo de una batalla nacional sobre pi entre los partidarios de los valores tradicionales y la élite técnica. Lawson, miembro de la Sociedad Salomón está de acuerdo. "Solo queremos devolver a pi su valor tradicional," ha dicho, "que, según la Biblia, es tres."
El artículo, en su versión original en inglés, puede leerse aquí. Se trata tan solo de un artículo en broma, escrito por Mark Boslough y publicado en el 1 de abril de 1998, el April Fools' Day (literalmente, el día de los tontos de abril), el equivalente a nuestro 28 de Diciembre, Día de los Inocentes. Todos los personajes citados en el artículo, salvo Guy Hunt, son imaginarios. Guy Hunt fue un gobernador de Alabama, condenado por corrupción en 1993.

Sin embargo, el artículo empezó a circular por Internet y aunque al día siguiente de su publicación el autor confesara la broma, muchas personas empezaron a creer que era auténtico.

A pesar del engaño, el artículo está inspirado en un hecho real: en 1897 la Cámara de Representantes de Indiana aprobó unánimemente una enmienda redefiniendo el área de un círculo y el valor de pi. Esta enmienda estuvo impulsada no con el ánimo de hacer que pi coincidiera con el valor que la Biblia le otorga, sino con el propósito de probar la cuadratura del círculo, que el matemático aficionado Edward J. Goodwin había creído descubrir. Este convenció al Representante Taylor I. Record, el cual introdujo la enmienda a la Cámara de Indiana. La enmienda fue rechazada en el Senado estatal gracias a la oportuna intervención de C. A. Waldo, profesor de la Universidad de Purdue. Un artículo explicando todo este asunto puede leerse aquí.

También hay otro hecho curioso: el escritor de ciencia ficción Robert A. Heinlein, en su novela Forastero en Tierra Extraña, publicada en 1961, menciona que en Tennessee se aprobó una ley haciendo que pi fuera igual a tres, pero esto no es real, solo es una ficción más de la novela.


Tal y como dice el artículo de broma escrito por Mark Boslough que hemos transcrito arriba, existen algunos pasajes de la Biblia en los que se puede deducir que el valor asignado a pi en  tiempos bíblicos era tres. Concretamente, los pasajes son de Reyes 1, 7:23 y de Crónicas 2, 4:2, y los dos versículos dicen prácticamente lo mismo: Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del un lado al otro, perfectamente redondo: su altura era de cinco codos, y ceñíalo alrededor un cordón de treinta codos.


Cuando en el texto se habla de un mar de fundición, se refiere a un recipiente de bronce, como un gran caldero o bañera circular. El texto indica que tenía un diámetro de diez codos y una circunferencia de treinta codos y era perfectamente redondo. Como el valor de pi coincide con el cociente de la longitud de la circunferencia entre su diámetro, de aquí se infiere que el valor de pi asignado por en el Antiguo Testamento era exactamente 3.

En realidad si queremos hacer una circunferencia que tenga 10 codos de diámetro, la longitud de la circunferencia tiene que tener 31'4 codos de largo, aproximadamente. Y viceversa, si la circunferencia es exactamente de 30 codos, el diámetro no llega a 10 sino que debe ser de poco más de 9'5 codos. Entonces no se puede fabricar un recipiente según las instrucciones bíblicas. Es posible que las medidas sean aproximadas: un diámetro de casi 10 codos con una circunferencia de poco más de 30 codos de largo.

También es muy posible que entre en juego el grosor del recipiente, pues se dice que el mar de fundición debía tener un espesor de un palmo. El palmo es la longitud que abarca una mano extendida, desde la punta del dedo gordo hasta la punta del dedo meñique, y el codo es la longitud desde el extremo de la mano abierta hasta el codo. Estas longitudes varían en cada persona, y así hay diferentes medidas de codo y palmo según el país y la cultura en donde nos encontramos. Pero podemos hacernos una idea que un palmo está en torno a 20 ó 25 centímetros, y el codo alrededor de 50 centímetros. Si medimos la anchura del recipiente contando con el grosor en 10 codos, la anchura sin el grosor serían unos 9'5 codos, y la circunferencia por dentro del recipiente haría 30 codos con bastante exactitud.

Al parecer, a lo largo de la historia se ha tomado al pie de la letra que la Biblia sugiere que el valor de pi era exactamente 3, lo que ha causado graves problemas teológicos. La forma de medir el diámetro por fuera y la circunferencia por dentro que hemos mencionado en el párrafo de arriba ya fue propuesta por el Rabino Nehemiah, que vivió sobre el año 150 d. C. También se han propuesto otras explicaciones: que los Hebreos redondeaban sus cantidades a los números enteros más cercanos, que el recipiente no era perfectamente circular, o bien que no tenía forma cilíndrica.

22.1.15

El Gordo no toca

Cuaderno de bitácora: recientemente, con motivo de las fiestas navideñas, un compañero surcador de los mares me preguntó si las matemáticas daban alguna fórmula para ganar a la lotería. Mi respuesta fue que las matemáticas te mostraban que ganar a la lotería es casi imposible.
En España, entre otros juegos de lotería, tenemos el Sorteo de Navidad, que se juega el 22 de diciembre, todos los años. Participar de este sorteo es una tradición muy extendida entre los españoles. Se dice que más de un 80% de los españoles juega alguna participación (algún décimo o participaciones más pequeñas). Para este último año se ha calculado que la media de dinero jugado por cada español era de unos 61'56 euros, cantidad bastante respetable.
Durante la mañana del 22 de diciembre, los medios de comunicación retransmiten como los niños y niñas del Colegio de San Ildefonso van cantando los números premiados, pero el número que más interesa es el Gordo (el primer premio), que reparte 20.000 euros por cada euro jugado. Luego en las noticias aparecen los datos de los lugares donde ha caído el Gordo y otros premios secundarios, y reportajes de algunas personas celebrando que les ha tocado algún premio.

[En la foto se ven las manos de los niños colocando las bolas que han salido en los alambres: una bola tiene el número agraciado y su pareja en el alambre paralelo tiene el premio que ese número ha obtenido. Las bolas están hechas de madera de boj, y los números están grabados a láser. Hay dos bombos, uno con los 100.000 números y otro con los premios. En total hay 1807 bolas en el bombo de los premios: 1 primer premio llamado el Gordo, 1 segundo premio, 1 tercer premio, 2 cuartos premios, 8 quintos premios y 1794 pedreas. Los números premiados son los van saliendo del bombo y se emparejan con estas bolas de los premios; también son premiados aquellos números que reciben premios especiales, como los números anteriores y posteriores al Gordo, al segundo, al tercero, los que tienen las últimas cifras coincidentes con alguno de los premios principales, etc. Para más detalles, ver la página de la Wikipedia correspondiente]

Si usted quiere participar en el sorteo, tenga en cuenta esto: comprando un número no le va a tocar el Gordo. Si quiere, podemos hacer una apuesta. Yo apostaré a que no le toca.
Los números posibles de la lotería de Navidad son 100.000. El Gordo es solo uno. La probabilidad de que comprando una participación de un número le toque el Gordo es una entre cien mil. En tanto por ciento sería 0'001%. Si apuesto con usted a que no le va a tocar el Gordo, tengo una probabilidad de ganar de un 99'999%. Es una buena probabilidad. El Gordo no toca.
Entonces, me dirá usted, si el Gordo no toca, ¿por qué vemos en televisión o en las noticias a personas a las que les ha tocado? Reflexione sobre esto: si la información fuera equitativa, por cada persona a la que el Gordo ha tocado, tendrían que entrevistar a 99.999 personas a las que no les ha tocado. Solo con que se le concediera un segundo de televisión a cada una de esas cien mil personas, estaríamos más de 27 horas viendo rostros, uno por segundo. Si fueran entrevistando una por una a esas 100.000 personas nos daríamos cuenta de una verdad probabilística incontestable: el Gordo no toca, y esto es cierto con una probabilidad del 99'999%.
No sé si esto hará cambiar de opinión a todos aquellos que siguen ilusionados en que les toque el Gordo. Además del Gordo hay otros premios (el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto, las pedreas, los premios especiales, los reintegros). Sólo el 15% de los números recibe algún premio o reintegro. Si se juega a un número hay una probabilidad del 85% de perder todo el dinero.

Yo he jugado varios años a la lotería de Navidad. He comprado unos cuantos décimos y participaciones. Tan sólo un año me tocó un premio muy menor, (la llamada pedrea) en una de las participaciones, entre las participaciones y décimos que jugué había una de 4 euros en la que gané 20. La cantidad de dinero perdido en estos años ha sido mucho mayor, varios cientos de euros. Este año no jugué. La lotería de Navidad ha sacado un anuncio publicitario en el que explotaba el temor a no jugar un número cuando todos tus conocidos juegan al mismo número. Yo también sentí cierto temor de que le tocara a los compañeros de trabajo que sí jugaron a un décimo que yo no compré, y sentí miedo de que luego me reencontrara con ellos, todos alegres, y yo estuviera lamentándome de no haber jugado. Pero no fue así. A mis compañeros tampoco les tocó. Pero yo tenía una probabilidad del 99'999% a mi favor. Gané y no tuve que lamentarme.
También podemos creer que si jugamos un año y otro y otro, al final nos debe tocar el Gordo. Pero hay que esperar mucho tiempo para tener ciertas opciones. Si jugamos un año, la probabilidad de que no toque es de 99'999%. Si jugamos dos años, la probabilidad de que no toque ninguno de los dos años se calcula tomando 99'999% = 0'99999 y elevándolo al cuadrado: 0,9999800001 =99'99800001%, que es casi la misma probabilidad. Si jugamos toda la vida, la probabilidad tampoco sube mucho.
Si jugamos 100 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es todavía del 99'9% aproximadamente (0'99999 elevado a 100). Si jugamos 1000 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es del 99% y si jugásemos durante 10.000 años, tendríamos todavía una probabilidad de que el Gordo no nos tocase de 90'48%. Tendríamos que jugar durante log(0'50)/log(0'99999) = 69.314 años para que la probabilidad de que el Gordo nos toque alguna vez llegue al 50%.
Ya ven ustedes, el Gordo no toca.
P.D.: no podemos negar que es bonito jugar a la lotería de Navidad, se trata de un acontecimiento social en el que todo el país se une lleno de ilusión para jugar juntos en una fecha que marca el comienzo de la fiestas navideñas. Es agradable compartir números con la familia y los amigos, y luego comentar dónde han caído los premios.
Sin embargo, a la hora de la verdad, supone un negocio en el que muchísima gente gasta mucho dinero y unos pocos (poquísimos) reciben unos grandes premios, que no compensan todo el dinero gastado por toda la sociedad. Según mi opinión se podría organizar un sorteo en el que se rebajara la cuantía de los premios, pero se aumentara mucho el número de premios otorgados, para que así hubiera mucha más cantidad de personas que recibieran premios (cien veces más, por lo menos). Además sería justo que todo el dinero invertido por la sociedad se volviera a repartir en premios, y no como ahora, donde el porcentaje que se pierde en impuestos es cada vez más grande. De ahí la frase "a Hacienda siempre le toca el Gordo en Navidad".
No obstante, las empresas de juegos de azar tratan de atraer cada vez más público promocionando premios mayores, cuando lo que en realidad hacen es disminuir drásticamente las probabilidades de que uno gane cualquiera de esos premios. Así sucede con la lotería primitiva, la bono loto, los euro millones, etc. Tocan millones de euros, pero a una sola persona, y a veces el premio queda desierto. Hagamos conciencia de que somos millones de jugadores, y entonces la probabilidad de que seamos la persona afortunada a la que toca uno de esos premios es minúscula. Si el Gordo no toca, los euro millones, las lotos y bono lotos, tocan muchísimo menos.