Guerras de letras, partículas, antipartículas y números enteros.

Cuaderno de bitácora: hay personas que para entretenerse hacen garabatos. Tanto en clase como en reuniones, conferencias, y en todo momento en que se tiene a mano un lápiz o bolígrafo y un papel, documento, cuaderno o periódico, es normal ponerse a dibujar, rayar, hacer figuras geométricas, rellenar espacios, cualquier cosa para relajar la mente y hacer que pase el tiempo.

En mi infancia, una de las cosas que se me ocurrió, como a muchos otros, fue entretenerme rellenando con un bolígrafo los huecos de las letras. Hay letras que tienen "huecos que rellenar", y son las siguientes: a, b, d, e, g, o, p, q. El resto de letras "no tienen huecos", sus líneas no rodean superficie, y son: c, f, h, i, j, k, l, m, n, ñ, r, s, t, u, v, w, x, y, z.

Cuando escribimos con letras mayúsculas, la situación puede cambiar, así las letras mayúsculas con huecos son: A, B, D, O, P, Q, R, mientras que las que no tienen huecos son: C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, S, T, U, V, W, X, Y, Z. La E y la G han pasado de tener hueco en minúscula a perderlo en mayúscula, y la R, que no tenía hueco en minúscula, ahora le ha salido uno en mayúscula.

Conforme iba rellenando huecos, se me ocurrió también que aquellas letras con huecos eran enemigas de las letras sin huecos, y que podía ir compensando unas con otras. Así, dejé de rellenar los huecos y lo que me entretenía era en tachar letras: por cada letra con hueco, tachaba otra sin hueco. Así comenzó una guerra, la guerra de las letras, en la que me puse del lado de las letras con huecos, y las usaba de munición para destruir las letras sin hueco, una a una.

Si me aparecía, por ejemplo, una frase como "la rosa es hermosa, fragante y olorosa", estaba todo casi equilibrado, pues si nos fijamos hay 15 letras con hueco y 16 sin hueco, y ganan las letras sin hueco solo por una letra de diferencia. Si tengo la frase "el pendiente de Ágata parece dorado", ganan las letras con hueco por doce. En la frase "la lluvia en Sevilla es fina y moja mucho" ganan las letras sin hueco por trece.

Conforme iba avanzando en los párrafos, me daba cuenta que las letras sin hueco aparecían con más frecuencia, y así se me iban quedando unas cuantas sin poder eliminar. Este desequilibrio no me gustaba, y empecé a "cambiar de bando" algunas de las letras. La primera fue la y, que aunque no tiene hueco la puse del bando de las letras con hueco. También añadí la ñ; la ll la consideré como si fuera una sola letra, lo mismo que la ch y la rr, etc., siempre intentando encontrar el equilibrio, entre ambos bandos.

Encontrar el equilibrio exacto resulta interesante. Cada párrafo puede tener una situación diferente, pero a la larga, todo depende de la frecuencia con la que aparecen las letras. En la wikipedia hay una página donde están recogidas las frecuencias de aparición de las diferentes letras en español. Considerando las frecuencias de las letras con hueco:

a = 12,53%
b = 1,42%
d = 5,86%
e = 13,68%
g = 1,01%
o = 8,68%
p = 2,51%
q = 0,88%

Si sumamos todas las cantidades: 12,53 + 1,42 + 5,86 + 13,68 + 1,01 + 8,68 + 2,51 + 0,88 =  46,57%. El resultado es un poco menos del 50% y por tanto las letras con hueco están en desventaja en su particular guerra contra las letras sin hueco. Cambiar de bando la y (0,90%) y la ñ (0,31%) no es suficiente ya que nos deja el porcentaje en 47,78%. Si por ejemplo a las letras con hueco, 46,57% les añadimos la m (3,15%) y la ñ (0,31%) entonces llegaríamos a 50,03%. Si hubiera empleado esta estrategia, habría obtenido un combate muy igualado, y a la larga ligeramente favorable a mis letras preferidas.

Esta guerra de letras recuerda en física cuántica a las partículas y antipartículas. Todos sabemos que la materia está compuesta por átomos, y los átomos a su vez están constituidos por un núcleo de protones y neutrones, y una órbita de electrones. Los protones tienen carga eléctrica positiva, los electrones carga negativa y los neutrones no tienen carga eléctrica. Pero estas no son las únicas partículas que existen. También tenemos otros tipos, como neutrinos, bosones, quarks... Uno de esos tipos son las llamadas antipartículas, que forman lo que se conoce por antimateria. Son partículas contrarias al protón y al electrón, con la misma masa, pero carga eléctrica contraria. Tenemos por ejemplo el positrón, que tiene la misma masa que el electrón, pero carga positiva.

Cuando una partícula se encuentra con una antipartícula, ambas se destruyen, y la masa que tienen se aniquila totalmente y se transforma en energía en forma de fotones. En la guerra de letras, las letras con hueco se comportan como partículas y las letras sin hueco como sus antipartículas. Unas se aniquilan con las otras.

En la imagen se representa la aniquilación de un electrón con un positrón, generando dos rayos gamma que parten en direcciones opuestas. La ilustración la hemos obtenido de esta página.

En las letras, no hay simetría entre letras con hueco y letras sin hueco. Ya hemos visto que las letras con hueco están en minoría, solo son un 46,57% de todas las letras (estamos hablando de letras minúsculas escritas con una fuente de grafía estándar, como la que estamos utilizando en esta entrada del blog). En el universo siempre se ha pensado que las partículas y antipartículas deben estar distribuidas equilibradamente, y lo que es cierto para las partículas debe también ser cierto para las antipartículas.

Sin embargo, sorprendentemente no es así. Según lo que se observa de nuestro universo, las partículas están en una proporción mucho mayor que las antipartículas. La mayor parte de la materia parece estar compuesta por partículas normales, mientras que las antipartículas son escasas y encuentran una rápida aniquilación al cruzarse con las partículas. Este es uno de los misterios no resueltos de la cosmología.

Relacionado con todo este tema, también podemos llevarlo al campo de las matemáticas y de la aritmética de los números enteros. Algunos grumetes encuentran difícil entender las sumas y restas de números enteros. Pero podemos pensar que cada número representa una cantidad de partículas o antipartículas, o de letras con hueco y letras sin hueco. Si el número es positivo, podemos imaginar que representa partículas, y si es negativo antipartículas.

Así, si tenemos la operación -7 + 8, podemos pensar que -7 representa a 7 antipartículas, y 8 representa a 8 partículas. Las 7 antipartículas eliminarán a 7 partículas y entonces todas las antipartículas habrán desaparecido, quedando sólo 1 partícula sin eliminar. De ahí el sentido de la cuenta:

-7 + 8 = 1

Cuando la cuenta es más larga, el proceso es el mismo, vamos imaginando que las partículas (números positivos) se anulan con las antipartículas (números negativos). También imaginamos que cuando hay dos números positivos (ambos partículas) obtenemos un número positivo mayor, y para los números negativos sucede lo mismo: dos números o más representan todos antipartículas, y juntándolas obtenemos un número negativo mayor:

6 - 8 + 9 - 5 = 2

8 + 10 = 18

-5 - 6 - 3 = -14

En matemáticas sí tenemos el equilibrio natural entre números positivos y números negativos. Por cada número positivo hay un número opuesto, el negativo correspondiente. Es lógico pensar que si hubiera una guerra entre números enteros el resultado final sería 0.

Pero este pensamiento puede tener sus trampas. Los números enteros son infinitos. ¿Podemos hacer una guerra entre todos los números? Si intentamos hacer una guerra total siguiendo el método que hemos utilizado con las guerras de letras de ir anulando unas con otras, nos podemos encontrar con paradojas muy simples:

Supongamos que vamos tomando todos los números enteros sin repetirse, y los sumamos de la forma ordenada, primero el 0, luego sumamos 1, luego sumamos -1, después 2, -2, y así sucesivamente:

0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 1 - 1 = 0
0 + 1 - 1 + 2 = 2
0 + 1 - 1 + 2 - 2 = 0
0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 = 3
0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 = 0
0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 = 4
0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 - 4 = 0
0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 - 4 + 5 = 5
...

El resultado va siendo 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5,... Podemos comprobar que los negativos van anulando a los positivos, y la suma regresa siempre a 0; la guerra de números siempre se equilibra.

Pero si disponemos los números enteros de otra forma:

0 + 1 + 2 - 1 + 3 + 4 - 2 + 5 + 6 - 3 + 7 + 8 - 9 ...

Es decir, sumamos dos positivos y luego un negativo, y los siguientes dos positivos y el siguiente negativo, etc. Entonces vamos obteniendo 0, 1, 3, 2, 5, 9, 7, 12, 18, 15, 22,... A pesar de que todos los números enteros se van incluyendo en la suma, los negativos llegan tarde, y la suma de positivos va creciendo sin límite, es decir, los positivos ganan la guerra sin remedio.

¿Cómo es posible, si hay tantos números positivos como negativos? El núcleo de la cuestión es que estamos haciendo una suma infinita, y con el infinito surgen este tipo de paradojas. (Para los matenavegantes experimentados esto es un ejemplo sencillo de una serie no convergente a la que podemos reordenar para que se comporte de la forma que queramos).

Para terminar, podemos pensar en un ejemplo de guerra de números sencillo pero del que no tengo conocimiento si se ha llegado a estudiar todavía y si se tiene alguna conclusión. Tomemos un número irracional (decimal infinito no periódico), como el número pi = 3,14159265358979323846... Consideremos la sucesión de los decimales, y hagamos una guerra entre ellos, poniéndoles alternativamente un signo más o un signo menos y haciendo la suma:

1 - 4 + 1 - 5 + 9 - 2 + 6 - 5 + 3 - 5 + 8 - 9 + 7 - 9 + 3 - 2 + 3 - 8 + 4 - 6…

La pregunta puede ser: ¿La suma se mantendrá equilibrada? Y si no se mantiene equilibrada, ¿irán ganando los positivos o los negativos? Es decir, ¿tienen más peso los decimales en lugar impar o en lugar par? ¿Y qué sucederá con otros números irracionales como el número e, el número fi, o la raíz cuadrada de dos?

Aunque desconozco si a alguien se le ha ocurrido hacer estas guerras, puedo suponer que sí, porque al número pi se le han dado muchas vueltas a lo largo de los siglos...

Nota: garabato, en inglés, se dice doodle. Esta palabra se está haciendo famosa en el ciberespacio porque se está aplicando a las ilustraciones que diseña Google para conmemorar diariamente hechos notorios. Hay una página que recopila todas estas ilustraciones.