30.12.17

Sudoku de letras (12)

Reglas de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C   E   I   L   Ñ  O  P   S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el nombre de un municipio de la provincia de Castellón.


26.12.17

La Espiral de Fibonacci (2) : Las Curvaturas y el Circuito de Montecarlo

Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior hicimos la construcción en papel de la llamada Espiral de Fibonacci. Para ello utilizamos una hoja cuadriculada estándar, tamaño folio, donde hacer el dibujo de forma sencilla. También comentamos las propiedades de los rectángulos que habíamos ido dibujando con la espiral, y cómo se aproximaban en sus proporciones al rectángulo áureo.

Figura 1.
Aquí tenemos la Espiral de Fibonacci dibujada, con el conjunto de cuadrados y rectángulos que se basan en los términos de la sucesión de Fibonacci.

Al igual que cada uno de los rectángulos que hemos dibujado es una aproximación cada vez más exacta del rectángulo áureo, la espiral que hemos dibujado es una aproximación de una espiral llamada Espiral Áurea. Vamos a tratar de entender cómo se construye la Espiral Áurea y qué diferencia tiene con la Espiral de Fibonacci.

Hablemos ahora de un aspecto importante dentro de la Geometría de las Curvas, una parte de las matemáticas que se engloba dentro de la Geometría Diferencial. Centrémonos en curvas planas y veamos qué es eso de la curvatura de una curva plana.

Ilustremos este tema con un sencillo ejemplo: el famoso circuito de Fórmula 1 en Montecarlo.

Figura 2.
En esta imagen vemos el trazado del circuito de Montecarlo, con cada una de las curvas numeradas.
El autor de la imagen es Will Pittenger. Ver créditos abajo.

El trazado del circuito de Montecarlo se puede asimilar a una línea curva cerrada. Si observamos la imagen, esa línea se curva más o menos según el punto donde nos encontremos. Hay puntos donde la curvatura es muy pronunciada: en el punto ⑥, por ejemplo, donde está el Grand Hotel Hairpin (hairpin = horquilla), en ese punto la fuerza centrífuga que experimentan los coches de Fórmula 1 es máxima, y tienen que frenar mucho si no se quieren salir del circuito. Otros puntos tienen una curvatura muy pequeña, como la curva ⑨, el Túnel; en él hay poca fuerza centrífuga, y los coches pueden acelerar hasta el máximo sin peligro de salirse del trazado. También hay tramos rectos, como el tramo entre el ⑪ y el ⑫; en ese tramo la curvatura es cero, y también es cero la fuerza centrífuga.

Es sencillo comprender que la curvatura mide lo doblada que está una curva en un punto; a mayor curvatura, la curva está más doblada y es más cerrada, y a menor curvatura la curva es más abierta. Si la curvatura es cero, entonces la curva es en realidad una línea recta.

También es sencillo entender que la curva plana más sencilla de todas es la circunferencia, y que en todos los puntos de la circunferencia la curvatura siempre es la misma. Además, la curvatura de una circunferencia se puede calcular numéricamente, como el inverso de su radio. Una circunferencia de radio igual a 2 tiene una curvatura igual a 1/2 = 0,5. Una circunferencia de radio 4 tiene una curvatura igual a 1/4 = 0,25. Una circunferencia muy pequeña de radio 0,1 tiene una curvatura igual a 1/0,1 = 10.

Figura 3.
Aquí vemos varios ejemplos de circunferencias de diferentes tamaños, con sus radios y sus curvaturas respectivas.

En una curva plana que no sea una circunferencia, podemos también medir la curvatura en cada punto. Basta encontrar en dicho punto el círculo osculador, (ósculo = beso) que para entendernos sería el círculo "que más se parece" a la curva en dicho punto. En ese caso, la curvatura de la curva sería la del círculo osculador en dicho punto. Aquí debemos advertir que no todo punto de una curva admite un círculo osculador, pues hay puntos donde la curva cambia bruscamente de curvatura, por ejemplo puntos que forman el vértice de un ángulo, y otros tipos de puntos que veremos más abajo.

En la figura siguiente, con la ayuda del programa Geogebra, hemos trazado aproximadamente los círculos osculadores de tres curvas del circuito de Montecarlo.

Figura 4.

Se puede ver en amarillo el círculo osculador de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin, en azul celeste el círculo de la curva ④ en el Casino, y en verde claro el círculo de la curva ⑨ en el Túnel.

Gracias al trazado de estos círculos, podemos calcular (con el programa Geogebra) los radios y las curvaturas de los círculos osculadores. Tenemos en cuenta también la escala en que está trazado el gráfico, y para ello hemos hecho coincidir la escala del trazado con el eje de coordenadas cartesianas.

Curva ⑥ Grand Hotel Hairpin: radio ≅ 11 metros; curvatura ≅ 0,09.
Curva ④ Casino: radio ≅ 58 metros; curvatura ≅ 0,0173.
Curva ⑨ Túnel: radio ≅ 274 metros; curvatura ≅ 0,00365.

(El símbolo ≅ significa que los cálculos son aproximados.)

Con estos cálculos podemos comparar la curvatura de la curva ⑥ Grand Hotel Hairpin con la de la curva ⑨ Túnel, dividiendo ambas cantidades:

0,09 : 0,00365 ≅ 25

Es decir, la curva del Grand Hotel Hairpin tiene una curvatura aproximada 25 veces superior a la del tramo del Túnel, según las mediciones que hemos hecho sobre el gráfico del circuito de Montecarlo, y este dato ya no depende de la escala que tomemos, tan sólo de lo exactos que sean el gráfico y los trazados de nuestros círculos.

Apliquemos lo que hemos aprendido sobre curvaturas a la Espiral de Fibonacci. En el caso de la Espiral, calcular su curvatura en cada punto es extremadamente sencillo, pues la Espiral está formada por arcos de circunferencia, cada uno abarcando un ángulo de 90º, inscritos en cuadrados. Precisamente, el radio de cada arco de circunferencia coincide con el lado del cuadrado donde está inscrito. Así, las curvaturas serán:

-En los dos cuadrados de lado 1, la curvatura de la Espiral es de 1/1 = 1.
-En el cuadrado de lado 2, la curvatura de la Espiral es de 1/2.
-En el cuadrado de lado 3, la curvatura de la Espiral es de 1/3.
etc.

La curvatura de la Espiral en cada arco de 90º va tomando los siguientes valores: 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, 1/13, 1/21, 1/34..., los inversos de la sucesión de Fibonacci.

Veamos un detalle muy importante: la curvatura varía conforme avanzamos por la espiral. En una circunferencia, la curvatura es constante. En una espiral, la curvatura va disminuyendo si nos desplazamos hacia afuera, y aumenta si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral. Para entender esto mejor, podemos imaginarnos dentro de un coche en un circuito de fórmula 1: si el circuito es una circunferencia perfecta, podemos desplazarnos por él colocando el volante en una posición fija, y siempre sentiremos la misma fuerza centrífuga. Si el circuito es una espiral y nos desplazamos hacia afuera, alejándonos del origen, tendremos que ir modificando la posición del volante, poniéndola cada vez más recta, y notaremos cómo va disminuyendo la fuerza centrífuga, y sucederá lo contrario si nos desplazamos hacia dentro, hacia el origen de la espiral.

Aunque el comportamiento de la curvatura es similar en todos los tipos de espirales, en la Espiral de Fibonacci, la curvatura disminuye o aumenta de forma discontinua, a saltos: cuando pasamos de un arco al siguiente, hay un salto brusco de la curvatura, y si nos desplazáramos en un coche por un circuito en forma de Espiral de Fibonacci, notaríamos cambios bruscos en la fuerza centrífuga y en la dirección del volante en cada cambio de tramo.

Continuaremos con este tema en una próxima entrada, donde estudiaremos la Espiral Áurea.

Créditos de la imagen del circuito de Montecarlo:
By Will Pittenger (Own work) [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)], via Wikimedia Commons

23.12.17

Sudoku de letras (11)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  B  C  E  I  L  P  R  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: una forma de gobierno que hubo en España entre 1931 y 1936.


19.12.17

Papiroflexia Matemática: El Cubo Inflable

La papiroflexia, también llamado origami, se ha convertido en un auténtico arte manual en el que a través de la manipulación de piezas de papel se consiguen construir modelos que van desde los sencillos aviones de papel hasta las más complejas estructuras geométricas.

Como quiera que nuestro interés principal son las matemáticas, estamos sacando varios artículos y entradas sobre modelos de papiroflexia relacionados con objetos matemáticos. Basta hacer una sencilla y rápida búsqueda en la red para encontrar innumerables páginas, en especial vídeos demostrativos de construcciones con papiroflexia, y no son menos abundantes las construcciones de poliedros y figuras geométricas muy diversas. Pero siempre nos han atraído las construcciones que requieren conocimientos y manipulaciones simples y conducen a resultados sólidamente satisfactorios, descartando aquellas construcciones que son, o demasiado simplonas y vacías, que ofrecen resultados mediocres, o aquellas que son enormemente dificultosas, y pueden desmotivar a los matenavegantes que se inician en el arte de doblar papel.

La construcción que traemos en este artículo es una de esas que, siendo sencillas, ofrecen un resultado sorprendente. Se le puede dar el nombre de Cubo Inflable.

Partimos de una hoja cuadrada de papel, puede ser papel especial de origami, o puede ser de un simple folio de tamaño A4. Veamos en la secuencia de fotografías los pasos que se dan para construir nuestro mágico cubo-globo.

Figura 1.
Si partimos de un folio A4, conseguimos un cuadrado por el método tradicional: doblamos en diagonal desde una esquina y recortamos el rectángulo lateral que nos sobra.

Figura 2.
Una vez que tenemos el cuadrado, hacemos cuatro dobleces, por la mitad en horizontal y vertical, y las dos diagonales principales.

Figura 3.
Doblamos el cuadrado en horizontal. Trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, ahuecando el papel y formando un triángulo.

Figura 4.
Éste es el resultado del movimiento anterior.

Figura 5.
Damos la vuelta al papel y hacemos lo mismo: trasladamos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, formando otro triángulo semejante.

Figura 6.
Esta es la construcción resultante, dos triángulos isósceles unidos.

Figura 7.
Levantamos las dos esquinas inferiores hacia arriba, llevándolas al vértice superior.

Figura 8.
Damos la vuelta al papel y llevamos las otras dos esquinas inferiores al vértice superior. Nos queda este rombo.

Figura 9.
Se doblan las puntas laterales y se llevan al centro del rombo (aunque en la imagen no lo parece porque están un poco desdobladas, las puntas laterales deben llegar hasta el centro de la figura).

Figura 10.
Se le da la vuelta al papel y se hace lo mismo por la otra cara.

Figura 11.
Las puntas superiores se doblan también hacia el centro de la figura. Por el otro lado también se hace el mismo doblez.

Figura 12.
Se introducen los últimos triángulos formados dentro del bolsillo que forman los triángulos laterales, como se ve en la imagen. La esquina superior marcada es la que tiene que introducirse en el bolsillo, junto a todo el triángulo, que una vez doblado quedará completamente oculto.

Figura 13.
Ya está terminada la figura y lo único que falta es soplar por la abertura inferior.

Figura 14.
Al soplar debemos tener paciencia y podemos ir ayudando al papel a tomar forma, hasta que poco a poco se va hinchando. El mismo vapor de agua de nuestro aliento lo va humedeciendo, lo que ayuda a que se vuelva más moldeable.

Figura 15.
El cubo va tomando forma.

Figura 16.
Otra vista del cubo. Una vez que está inflado, se le puede ir dando forma a las aristas, para que deje de tener el aspecto de "globo" y adquiera un aspecto más poliédrico.

Figura 17.
Aquí vemos el resultado final.

Figura 18.
Aquí vemos otros dos cubos de distintos tamaños. El grande está hecho de un folio A4 azul y el pequeño se ha hecho con un papelito de los tacos de notas, de unos 8 centímetros de lado.

Para finalizar esta entrada, dejo la siguiente cuestión (que no he resuelto todavía), por si algún lector quiere enfrentarse a ella: ¿Qué proporción hay entre el lado del cuadrado de papel que hemos utilizado y el lado del cubo?

17.12.17

Kolam (3) : Primeras Variaciones

En las dos primeras entradas sobre kolam hemos visto los kolam básicos trazados sobre tramas cuadradas o rectangulares de puntos pivote, y hemos reflexionado en su relación con el máximo común divisor de dos números. Sin embargo el mundo del kolam es amplio y profundo, y en esta entrada vamos a mostrar algunas variantes que enriquecen las posibilidades de los diseños.

En lugar de dibujar las tramas de pivotes como cuadrados o rectángulos vamos a delimitar otros diseños. El primero de ellos es el diseño en rombo. (En realidad se trata de dibujar tramas cuadradas, pero giradas 45º).

Empezamos con el rombo de lado 2. Veamos la secuencia de ilustraciones:

Figura1.
Esta es la trama en rombo de lado 2

Figura 2.
Siempre, antes de empezar un kolam, tenemos que tener claro cuáles son los puntos x.
Recordemos que los puntos x son aquellos que se encuentran entre dos pivotes adyacentes, en sentido horizontal o vertical.
Las diagonales de puntos x son las que determinan los caminos del kolam.
(Se puede observar que hay exactamente 4 puntos x.)

Figura 3.
Como siempre, empezamos por un punto x cualquiera y nos desplazamos siguiendo una diagonal. Cuando llegamos al borde, donde la diagonal de puntos x se acaba, usamos el pivote para girar hacia otra diagonal.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.
Después de 4 volutas, nuestra línea regresa al punto de partida y el kolam se completa. Hemos necesitado 1 curva.

Este diseño del kolam rómbico de lado 2 es una curva cerrada bastante simple, que no dudo que muchos de nosotros hemos garabateado más de una vez en algún momento de aburrimiento.

Veamos ahora el rombo de lado 3:

Figura 7.

Figura 8.
En esta ilustración señalamos los puntos x por donde debe pasar el kolam. No es necesario señalarlos, pero sí es imprescindible tener claro cuáles son, para no perder en ningún momento la orientación del dibujo. (En esta trama hay exactamente 16 puntos x.)

Figura 9.
La primera línea del kolam va de esquina en esquina, similar a la del rombo de lado 2 que hemos hecho más arriba.

Figura 10.
El kolam se completa con dos líneas más en forma de "salchicha" que atraviesan el rombo de parte a parte.
En total son 3 curvas.

Si seguimos ampliando el tamaño del rombo, sólo obtenemos dibujos similares, aunque más grandes. Así por ejemplo tenemos el rombo de lado 4:

Figura 11.
Esta es la trama del rombo de lado 4.  (Obsérvese que está formada por 9+16=25 puntos, lo que nos recuerda a la famosa terna pitagórica 3-4-5. Además si contamos los puntos x, son exactamente 36, por tanto las tramas de puntos x son cuadrados pares.)

Figura 12.
Aquí vemos el kolam terminado. Está compuesto por una línea roja cuadrada exterior, y cuatro líneas cerradas "salchichas" en diagonal.
En total se han necesitado 5 curvas.

Siguiendo la progresión que estamos viendo, podemos deducir que cualquier formación de pivotes en rombo de lado n dará lugar a un kolam de 2n−3 curvas, (una curva exterior que pasa por las cuatro esquinas del rombo, y 2n−4 curvas "salchicha" que atraviesan en diagonal la trama).

Pasemos ahora a un tipo de trama ligeramente diferente pero muy interesante. Se trata de una especie de rombo en el que la columna central queda duplicada (así el rombo queda alargado y se puede considerar un comienzo de hexágono).

Veamos el primer rombo alargado de lado 2:

Figura 13.
Esta es la primera trama del rombo alargado de lado 2. Obsérvese que está formado por dos rombos solapados, y está formado por 4+4=8 pivotes.

Figura 14.
Señalamos en esta imagen los puntos x para aclarar el kolam. Hay exactamente 9 puntos x.

Figura 15.
El kolam terminado solo se compone de una curva cerrada que pasa por todos los puntos x.

En este tipo de kolam se puede comprobar que una sola curva pasa por todos los puntos x, sin importar el tamaño del rombo alargado. Veamos el rombo alargado de lado 3.

Figura 16.
Este es el rombo alargado de lado 3. Su trama la forman 9+9=18 pivotes.

Figura 17.
Los puntos x por donde pasa el kolam. Nótese que son exactamente 25.

Figura 18.
El kolam terminado sólo se compone de una línea que pasa por todas las diagonales y rodea a todos los pivotes.

Como último ejemplo, veamos el rombo alargado de lado 4:

Figura 19.
La trama tiene 16+16=32 puntos pivote. Si contásemos los puntos x, veríamos que hay 49 exactamente, es decir, los puntos x van formando cuadrados impares.

Figura 20.
El rombo alargado de lado 4 terminado en una sola línea. Si nos fijamos en él, no es difícil reconocer una distribución semejante a los escaques del ajedrez, cada pivote estaría en una casilla negra, y entre ellos están las casillas vacías blancas.

Estos últimos tipos de kolam recuerdan a ciertos nudos tradicionales. Al comparar kolam con nudos, hay que tener en cuenta que los kolam son curvas planas, mientras que los nudos tienen propiedades tridimensionales. Salvando esta diferencia, podemos encontrar algunos nudos que coinciden en su estructura con este tipo de kolam sobre la trama de rombo alargado.

Uno de ellos es el llamado Nudo Infinito o Nudo Eterno, cuyo trazo coincide con el kolam de la Figura 15:

Figura 21.
El Nudo Infinito o Nudo Eterno.
El Nudo Infinito (shrivatsa en sánscrito) es un nudo simbólico usado en el Budismo Tibetano y pertenece a uno de los Ocho Símbolos Auspiciosos. Es posible encontrarlo en el Tíbet, Mongolia, China y otros lugares del oriente. Al no tener principio ni fin, simboliza la infinita sabiduría de Buda, y también representa la interrelación del camino espiritual, el flujo del tiempo y el movimiento dentro de lo eterno. [Adaptado de la wikipedia]

Otro ejemplo es el siguiente:

Figura 22.
Aquí vemos un plato chino lacado en rojo, de la dinastía Ming. En su centro apreciamos un nudo infinito con estructura similar al kolam de la Figura 20.

Recopilando lo que hemos visto en este artículo, tenemos:

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo, que están formados por varias líneas, y hemos calculado exactamente el número de líneas según el tamaño del kolam.

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo alargado, en ellos el kolam está formado por una sola línea que pasa por todas las diagonales. Hemos encontrado ejemplos de estos kolam en algunos símbolos de culturas antiguas.

-También hemos visto que las tramas de puntos x, tanto en uno como en otro kolam, forman cuadrados intercalados, en los rombos, cuadrados pares, y en los rombos alargados, cuadrados impares.

Continuaremos con más variaciones sobre el kolam en próximas entradas.

Créditos:

Del Nudo Infinito (Figura 21): By Dontpanic (= Dogcow on de.wikipedia) (Own drawing./Eigene Zeichnung.) [Public domain], via Wikimedia Commons.

Del Plato Rojo Lacado (Figura 22): By User:PericlesofAthens [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons

16.12.17

Sudoku de letras (10)

Regla del Sudoku de letras: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  E  K  N  O  R  U  V  Y

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el nombre de una famosa ciudad.


15.12.17

[El Problema de la Semana] Seguro de Vida


Este problema es sencillito.

Teresa echó una mirada sobre el hombro de su hijo.

-¡Eh, esos son los papeles de mi seguro de vida! -exclamó ella-. No me digas que ha vencido.

-No, mamá. Sólo que descubrí una curiosidad en el número de la póliza -dijo el muchacho-. Es el menor número con una raíz cúbica y una raíz séptima diferentes y enteras.

¿Cuál es el número?

Veamos la ilustración antes de solucionar el problema.

Seguros de vida. Lo que te venden: seguridad, tranquilidad, familias protegidas y felices, apoyo y cobertura en todas circunstancias. Lo que en realidad es: un juego de probabilidades como la lotería; la empresa de seguros maneja estadísticas globales de la población, y calcula probabilidades de que cada persona fallezca o sufra algún fatal imprevisto que esté cubierto en la poliza. Según la probabilidad calculada, así ajustan lo que el asegurado debe pagar, más un margen de beneficio para que la empresa salga siempre ganando.
Ejemplo: si hay una probabilidad entre mil de que una persona fallezca, por cada mil euros asegurados cobrarán un euro a la persona, más los beneficios que la empresa quiere obtener.
Supongamos que ese beneficio es de otro euro, y a cada persona asegurada cobran dos euros. Si tienen mil clientes, a dos euros cada uno, la empresa recauda dos mil euros. De esos mil clientes, por ley de probabilidad, uno fallece, y a su familia la empresa de seguros pagará mil euros; todavía la empresa se queda con un margen de mil euros de beneficio por el cobro de todas las pólizas.

Solución:

Consideramos los enteros positivos. Los números que tienen una raíz cúbica exacta, son aquellos denominados cubos: 1, 8, 27, 64, 125, etc. El primero (distinto del 1) que es un cubo es 2³ = 8.

Igualmente los números que tienen una raíz séptima exacta son aquellos que forman la sucesión de potencias de siete: 1, 128, 2187, 16384, 78125, etc. El más pequeño (distinto del 1) es 2⁷ = 128.

Si el número que buscamos tiene una raíz cúbica y una raíz séptima exactas, debe encontrarse en las dos listas anteriores. Debemos exceptuar el 1, porque nos dice explícitamente el problema que las raíces son diferentes. No es necesario buscar mucho para darse cuenta que el primer número que nos encontramos en las dos listas es 8⁷ = 128³ = 2097152.

¿Cómo razonaríamos en general? Veamos. Se necesita que el número sea una potencia de 2, pues son las potencias de números enteros más pequeñas, dejando aparte al 1. Para que se pueda hacer la raíz cúbica, el exponente del 2 debe ser divisible por 3, y para poder hacer la raíz séptima, el exponente del 2 debe ser divisible por 7. Luego el exponente del 2 debe ser divisible por el mínimo común múltiplo de 3 y 7 que es 21. Tomando 2 elevado a 21 obtenemos el resultado de antes:

2²¹ = 2097152.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

11.12.17

Papiroflexia Matemática: El Disco de Siete Colores

Cuaderno de bitácora: siguiendo con las figuras de papiroflexia queremos presentar en esta entrada una curiosa construcción que se hace con siete piezas muy sencillas, y da pie a una reflexión trigonométrica interesante sobre el heptágono regular.

La figura de hoy la hemos encontrado en un libro sobre aviones de papel, concretamente de un pequeño pero maravilloso libro: el Manual de Aviones de Papel de Nick Robinson.

Portada del libro. En el recuadrito de la izquierda se aprecia el disco que vamos a construir.

Veamos la construcción del Disco de Siete Colores con la siguiente serie de ilustraciones.

Figura 1.
Necesitamos siete papelitos cuadrados de siete colores distintos. Realmente los colores es para que salga más bonito, no influyen para nada a la hora de hacer la construcción.

Figura 2.
Tomamos cada papelito y lo doblamos por la mitad. Se nos forma un rectángulo de doble longitud que anchura.

Figura 3.
Este paso es clave: doblar a lo largo de la diagonal del rectángulo. El doblez es un poco delicado porque tenemos que conseguir que la diagonal nos quede lo más ajustada posible a los vértices de las esquinas.

Figura 4.
Le damos la vuelta al papel y por el otro lado hacemos el mismo doblez.

Figura 5.
Hacemos lo mismo con los demás papeles. Los colocamos todos en la misma orientación.

Figura 6.
Vamos a montar el disco. Tomamos dos papeles, en la misma orientación, introducimos uno de los papeles (en la foto el de color rojo) dentro del valle interior del otro papel.

Figura 7.
Deslizamos un papel dentro del otro hasta que el papel exterior (en la foto el azul) toque el vértice del ángulo inferior del otro. Es importante que los dos papeles queden en la posición correcta. Nos queda una figura simétrica con "orejitas" en la parte superior

Figura 8.
Doblamos las dos "orejitas" del papel exterior (en la foto el azul) escondiéndolas dentro del doblez del papel interior (rojo). La "oreja" del papel rojo la podemos dejar así de momento, ya la esconderemos más adelante.

Figura 9.
Ahora vamos repitiendo el proceso con los demás papeles, combinando los colores a nuestro gusto. En la foto añadimos el tercer papel, siempre en la misma dirección. 

Figura 10.
Añadimos el cuarto papel con el mismo proceso. Se nos va formando el disco.



Figura 11.
Con el quinto papel ya se va viendo el heptágono.

Figura 12.
El sexto papel y el heptágono está casi completo.

Figura 13.
El séptimo papel completa el disco. Ahora escondemos todas las "orejas" que nos han quedado fuera, doblándolas y metiéndolas dentro de los bolsillos de los papeles correspondientes.

Figura 14.
Éste es el Disco de Siete Colores terminado.

El Disco de Siete Colores se puede usar como figura decorativa, pero también se puede lanzar como un frisbi,  por eso está incluido en un libro sobre aviones de papel, ya que puede volar como ellos.

Dejando aparte la diversión que nos puede dar el Disco si nos ponemos a jugar con él y lo lanzamos entre varios compañeros, ahora estudiaremos su curiosa estructura geométrica.

Desde el primer momento nos ha llamado la atención que unos papeles doblados de manera tan sencilla, al ser acoplados como en la Figura 7 y siguientes, vayan adoptando la configuración de lo que parece un heptágono regular.

Si miramos la Figura 14, podemos observar en la estructura del Disco que el borde exterior es un heptágono con una base en la parte inferior y un vértice apuntando arriba, mientras que el borde interior es otro heptágono más pequeño en posición invertida, y ambos heptágonos parecen regulares.

¿Pero realmente estamos construyendo heptágonos regulares con el montaje de estas siete piezas?

Vamos a hacer un pequeño estudio trigonométrico de la situación, calculando la medida de los ángulos interiores de Disco que hemos construido y comparándola con la medida de los ángulos interiores de un auténtico heptágono regular.

Dibujemos la forma obtenida en un papel tras doblar una de las diagonales, como en la Figura 3.

Figura 15.

En esta figura buscamos la medida del ángulo CFE. Vayamos por partes:

-El rectángulo ABCD es el doble de largo que de alto, es decir, d=2a.

-El punto E es simétrico del A respecto a la diagonal BD.

-Los triángulos ABD y BED son iguales, y por tanto también lo son los triángulos BED y BCD.

-Por la igualdad de triángulos mencionada, el ángulo ADB mide lo mismo que el BDE, y el ángulo CFD es igual a la suma de los dos anteriores.

Ahora vienen los cálculos, con ayuda de las fórmulas trigonométricas.

Ángulo ADB = arcotangente de a/d = arctg (1/2) = 26,5651º aproximadamente.

Ángulo CFD = 2 · Ángulo ADB = 2 · 26,5651º = 53,1301º aproximadamente.

Por último calculamos el ángulo CFE, que es el que nos interesa:

Ángulo CFE = 180º − Ángulo CFD = 180º − 53,1301º = 126,8699º

Calculemos ahora cuánto vale el ángulo interior de un heptágono para poder compararlo con la medida anterior. Un heptágono se puede dividir en cinco triángulos:

Figura 16.

La suma de los ángulos interiores de un heptágono es igual a 180º · 5 = 900º. Por lo tanto, en el heptágono regular, cada uno de los ángulos interiores vale: 900º : 7 = 128,5714º.

Luego la respuesta a la pregunta que nos hicimos es: No, en la construcción del Disco de Siete Colores no hemos obtenido exactamente un heptágono regular. Cada ángulo que forman los papeles se diferencia en 1,7015º del ángulo interior de un auténtico heptágono regular, una diferencia un poco superior al 1%.

Sin embargo, gracias a la flexibilidad y adaptación del papel, apenas se nota la diferencia. Si nos gusta ir al detalle, en la Figura 12, se ve cómo la esquina del papel rojo se monta un poco sobre la del papel verde, lo cual era de esperar si los ángulos son un poco más pequeños que los del heptágono.

Nota: las Figuras 15 y 16 han sido realizadas con el programa Geogebra.