El pentágono y la razón áurea

Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior, hicimos la construcción del pentágono a partir del rectángulo áureo. Uno se podría preguntar qué relación hay entre el pentágono y la razón áurea que permite hacer dicha construcción. En esta entrada vamos a justificar que la razón áurea se encuentra dentro del mismo pentágono de forma muy natural.

Primero consideramos un pentágono regular de lado 1:

Trazamos una de las diagonales, EC, y se ve claramente que es paralela al lado AB; vamos a calcular lo que mide esta diagonal, llamémosle x:

Trazamos una segunda diagonal, AD, obteniendo el punto F, y nos damos cuenta que ABCF es un rombo, pues AD es paralelo e igual a BC, por tanto AB y FC son iguales y paralelos, y lo mismo ocurre con AF y BC, y los cuatro lados del rombo miden 1:

Si trazamos ahora otra diagonal, AC, tenemos dos triángulos ACF y EFD, que por el teorema de Tales, al tener dos lados en las mismas rectas y un tercer lado paralelo, son semejantes. Las medidas de dichos lados son x, 1, 1 en el triángulo ACF y 1, x-1, x-1 en el triángulo EFD:

Como son triángulos semejantes, sus lados son proporcionales dos a dos, y entonces podemos escribir la siguiente proporción:

Pero esta proporción ya la conocemos, la hemos estudiado en una de las entradas anteriores sobre la construcción del rectángulo áureo, en la que presentábamos la definición de número áureo; resolviendo la ecuación de segundo grado que nos aparece, y eligiendo la única solución positiva de dicha ecuación, obtenemos que x = φ, donde φ es:

Resumiendo, si el lado de un pentágono vale 1, la diagonal mide exactamente φ, el número áureo.

Si trazamos el segmento CG, paralelo a AE, tenemos que AG también mide φ, y así queda justificada la construcción del pentágono a partir de la razón áurea y del rectángulo áureo:

Notas:
En la página Matemáticas Visuales hay una demostración similar a la que hemos realizado en esta entrada. También está llena de artículos interesantes.
Todas las ilustraciones del artículo están realizadas con Geogebra.

Una construcción del pentágono

Cuaderno de bitácora: siguiendo con las construcciones geométricas, a continuación vamos a levantar un pentágono regular a partir del rectángulo áureo.

Comenzamos dibujando un cuadrado ABCD de lado 1 (el lado AB va a ser también un lado del pentágono que queremos construir):

Desde el punto medio E del segmento AB trazamos un arco de radio EC, que corta a la recta AB en dos puntos, F y K.

Completando con los puntos G y L obtenemos dos rectángulos áureos, el AFGD y el KBCL:

Si trazamos dos arcos de circunferencia de radio 1, uno con centro B y el otro con centro F, se cortan en un punto I; unimos B con I y ya tenemos el segundo lado del pentágono, BI:

Hacemos lo mismo con sendos arcos de centros A y K respectivamente y radio 1 y obtenemos el punto M; el segmento AM será el tercer lado del pentágono:

Lo único que nos queda es trazar los dos lados restantes, para ello trazamos dos arcos con centro en I y M respectivamente y radio 1, y se cortan en la parte superior en el punto N. Los segmentos IN y MN son los dos lados que faltaban:

Hemos obtenido un pentágono regular, de lado 1.

[Todos los gráficos están hechos con Geogebra]