26.11.17

Papiroflexia Matemática: El Fukikoma

Cuaderno de bitácora: otra figura de papiroflexia de bastante contenido matemático es el Fukikoma. Se trata de una construcción de origami japonés tradicional. Se necesitan seis piezas de papel cuadrado, preferiblemente en tres colores, dos de cada color. Veamos cómo se realiza.

1. Se toma un papel cuadrado y se hacen cuatro dobleces: por la mitad en horizontal y vertical, y las dos diagonales.

2. Para conseguir la forma de estrella (ver imagen 7 más abajo) hay varias posibilidades. Podemos por ejemplo empezar doblando el papel por la mitad.

 3. Luego se trae la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, como se ve en la imagen.

4. Aplastamos el triángulo que se nos forma. Le damos la vuelta al papel.

5. En la otra cara hacemos lo mismo: traemos la esquina inferior derecha hacia la esquina inferior izquierda, ahuecando, aplastando y formando otro triángulo isósceles.

6. El resultado es una figura básica muy conocida en la papiroflexia, formada por dos triángulos isósceles unidos, uno en cada cara.

7. Si separamos las puntas laterales y las ponemos formando una cruz se nos forma esta especie de estrella, que aquí vemos desde arriba. (Con un poco de práctica, los pasos 2 a 6 nos los podemos saltar, y formar esta estrella directamente en el paso 1).

8. Aquí vemos la estrella desde otra perspectiva.

9. Hacemos lo mismo con todos los papeles.

10. Llega el proceso de montar los papeles del Fukikoma. Esta parte es la más difícil.
Empezamos con tres estrellas, metiendo una "punta" triangular de una estrella dentro de otra. En la imagen la roja se ha metido dentro de la naranja, la naranja dentro de la rosa, la rosa dentro de la roja, y han formado ese "triángulo" de paredes de tres colores.

11. Añadimos otra estrella, siguiendo el mismo patrón. En la foto hemos añadido una estrella rosa, enfrentada a la otra de su mismo color.

12. Añadimos la quinta estrella. Es difícil ir añadiendo papeles sin que lo que llevamos hecho se nos desmonte. Conforme vayamos practicando, iremos aprendiendo a sujetar las estrellas para que 

13. Añadir la última estrella es lo más difícil. Pero si lo conseguimos el Fukikoma queda montado y los papeles no se separan.

14. Podemos observar nuestra construcción: está formada por tres cuadrados que se entrecruzan, uno de cada color. Las aristas de cada cuadrado forman el esqueleto de un octaedro.

15. Otra vista del Fukikoma terminado.

El Fukikoma es un objeto de papiroflexia muy interesante desde el punto de vista matemático. Como hemos comentado en las ilustraciones, está formado por tres cuadrados que se cruzan en las tres direcciones del espacio, y cuyas aristas forman el esqueleto de un tetraedro. Además parece la representación física de un sistema de coordenadas tridimensionales, con el origen de coordenadas ubicado en el centro, donde se cruzan los tres cuadrados.

También debemos tener en cuenta que el hexaedro o cubo y el octaedro son poliedros complementarios. Esto quiere decir que hay una correspondencia estrecha entre uno y otro. El hexaedro tiene 6 caras y 8 vértices, y el octaedro tiene 8 caras y 6 vértices. Las caras de uno se corresponden con los vértices del otro. También se verifica que ambos tienen 12 aristas. Si unimos los puntos medios de cada cara del hexaedro, obtenemos un octaedro y viceversa.

En la entrada titulada Papirolas, la construcción tridimensional más sencilla fue el hexaedro, y se necesitaban 6 papirolas, en tres colores, dos de cada color. Aquí para el Fukikoma hemos necesitado igualmente 6 papeles en tres colores. Las papirolas del hexaedro y los papeles estrellados del Fukikoma representan a la perfección la complementariedad de ambas figuras: si en el hexaedro cada papirola correspondía a una cara, en el Fukikoma cada papel representa a  un vértice, y si en el hexaedro en cada vértice se encontraban tres papirolas, en el Fukikoma, cada "cara" presenta los tres colores.

Si tenemos dudas de cómo se monta el Fukikoma, podemos recurrir a los famosos tutoriales que se publican en Youtube. No damos aquí la dirección de ninguno, porque las direcciones en Internet van quedando obsoletas con mucha rapidez. Hemos comprobado que numerosos enlaces que pusimos en entradas anteriores del blog, ya son inservibles; con el tiempo las páginas enlazadas han desaparecido o han cambiado de dirección.

25.11.17

Sudoku de letras (7)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

B  D  E  G  I  M  O  R  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el nombre de una conocida ciudad del Reino Unido.


23.11.17

El Folio de Cuatro Caras

Cuaderno de bitácora: otra actividad que hemos recogido del libro Bricológica (ver el artículo de las papirolas) y que hemos compartido con los grumetes es el llamado "Folio de Cuatro Caras".

Se trata de una forma de plegar un folio para que luego, aunque parece tener dos caras, podemos hacer aparecer hasta cuatro, desdoblándolo por el centro de las caras de manera sorprendente e inesperada.

Primero tomamos un folio normal blanco tamaño A4 (en realidad el tamaño y el color del folio importan poco). Preparamos el folio, dividiéndolo en 3 filas por 4 columnas por delante y por detrás, y dibujamos en cada uno de los cuadrados que nos han salido un número del 1 al 4 tal y como se indica en los gráficos adjuntos. También se subraya en la "cara delantera" tres segmentos por los que hay que cortar con unas tijeras o un cúter para hacer una "ventana".

Esta es la "cara delantera" del folio. Al centro observamos tres segmentos por los que hay que cortar, que abrirán una especie de ventana lateral. Más abajo veremos cómo se pliega esa ventana.

Esta es la "cara trasera" del folio.

A continuación vamos a ver una secuencia de fotografías de cómo preparar el folio y de cómo cortarlo y plegarlo.

Se dobla el folio por la mitad

Se vuelve a doblar por la mitad, así vamos a obtener las cuatro columnas necesarias.

Sin desplegar todavía, se dobla por dos dobleces de forma que nos queden tres partes de igual longitud.

Desplegamos el folio, y si lo hemos hecho bien, ahora los dobleces marcados nos dividen el folio en tres filas por cuatro columnas, cada espacio aproximadamente cuadrado.

Dibujamos en la "cara delantera" los números y señalamos las líneas de corte (en azul).
Recordamos que estas líneas son tres segmentos, uno arriba, otro abajo, y uno a la izquierda. En la derecha no hay segmento.

Le damos la vuelta al folio y en la "cara trasera" dibujamos el otro grupo de números.

Procedemos al corte por los segmentos señalados. Para hacerlo de forma fácil, doblamos el folio por la mitad y hacemos dos cortes, uno arriba...

... y otro abajo.

Desdoblamos el folio y terminamos el último corte, el del segmento de la izquierda.

Se obtiene una ventana central.

Doblamos la ventana central hacia la derecha, como indica la foto.

El extremo de la ventana (el que tiene el número 1) lo doblamos hacia atrás, rodeando el folio.

Ahora doblamos la columna de la izquierda, "enrollándola" hacia la derecha.

Volvemos a doblar la columna de la izquierda, "enrollándola", y terminando los dobleces.
Si lo hemos hecho bien, nos debe quedar como en la imagen, todo lleno del número 2.

Le damos la vuelta al folio, por la parte de atrás debe quedar como en la imagen.
El 1 central de la izquierda lo vamos a unir con celofán adhesivo al 1 de la derecha.

Colocamos celofán adhesivo entre los dos 1 centrales, uniéndolos.
Es importante que el celofán no se pegue a otras partes que haya debajo de los 1, ni que sobrepase la anchura del centro.
Nuestro Folio de Cuatro Caras ya está listo.
En la imagen vemos la Cara 1.

Si le damos la vuelta tenemos la Cara 2, pero ¿dónde están las caras que faltan?

Doblamos la Cara 2 por la mitad y hacia atrás, y abrimos por el centro de la Cara 2.

¡Con sorpresa veremos que se puede abrir y que aparece la Cara 3!

Ahora seguimos doblando la Cara 3 por la mitad y hacia atrás, y buscamos abrirla por el centro.

¡Y aquí está la Cara 4!

El Folio de Cuatro Caras es una actividad simpática y fácil, y se puede presentar como si fuera un truco de magia.

También es una actividad que podemos ampliar: hemos empleado números para dibujar en los cuadrados, pero los números se pueden sustituir por letras o por dibujos.

Además, con los cuatro números repetidos no se puede apreciar, pero si hacemos dibujos diferentes por columnas veremos que la configuración no aparece igual en la Cara 2 y en la Cara 3 según las abramos. Si vamos de la Cara 1 a la Cara 2, la Cara 2 aparece de una forma; si vamos de la Cara 3 a la Cara 2, la Cara 2 aparece con las columnas intercambiadas respecto a la forma anterior. Lo mismo ocurre con la Cara 3, no es lo mismo ir de la Cara 2 a la 3 que ir de la 4 a la 3, la Cara 3 aparece con las columnas en orden diferente según el camino por el que llegamos a ella. Repetimos: esto no se aprecia cuando estamos dibujando todos los números iguales.

Por otro lado, el diseño de este Folio no está limitado a las Cuatro Caras. Se puede hacer un Folio de Seis Caras, de Ocho Caras, etc., siempre en número par. Por ejemplo, para el Folio de Seis Caras, tenemos que dividir el folio en tres filas y 6 columnas, y colocar en la "cara delantera" los números:

6  6  5  4  3  2
2  3  4  5  6  6
6  6  5  4  3  2

También hay que dibujar una ventana central, similar a la que hemos hecho con el Folio de Cuatro Caras y que abarque el grupo central de números: 3  4  5  6. Por la "cara trasera" dibujaremos los números:

1  1  2  3  4  5
5  4  3  2  1  1
1  1  2  3  4  5

El sistema de corte y de plegado del Folio de Seis Caras es completamente similar al del Folio de Cuatro Caras, y dejamos al lector que experimente por sí mismo. Observando cómo es la distribución de los números en Cuatro Caras y Seis Caras, no es difícil imaginarse cuál es la distribución para un Folio de Ocho Caras. Igualmente, se pueden construir Folios más elaborados, que en lugar de tener una sola ventana tengan dos. Para ello basta con dividir el folio en cinco filas, en lugar de en tres, repitiendo alternadamente las filas. Y de dos ventanas podemos pasar a tres, a cuatro o las que se quieran.

Espero que esta construcción sea un entretenimiento exitoso.

19.11.17

Kolam (2) : Aspectos Aritméticos

Una vez que hemos aprendido a realizar las formas básicas del kolam, nos gustaría comentar en esta sencilla entrada algunos aspectos aritméticos bastante interesantes, en los que interviene el máximo común divisor de dos números.

En nuestro ejemplo de kolam básico 3×3 eran necesarias 3 curvas para completar el kolam. ¿Será una coincidencia lo del 3? No, como ya veremos: en un kolam cuadrado o rectangular se puede calcular de antemano el número de curvas que van a salir.

Cuando la trama es 3×3 pivotes, necesitamos 3 curvas cerradas diferentes para completar el kolam.

También pusimos un ejemplo de kolam 2×3, en él bastaba una curva para recorrer todo el kolam.

En esta trama 2×3 sólo ha sido necesaria 1 curva que, haciendo todas los giros y rebotes, ha completado el kolam.

Probemos ahora con un rectángulo 3×4. Se puede comprobar que el kolam también se completa con una sola curva.

Para el kolam de 3×4 empezamos en cualquier punto x y vamos recorriendo las diagonales.

Comprobaremos que todas las diagonales van siendo repasadas en un solo trazo.


Finalmente la curva se cierra sobre sí misma. Sólo ha sido necesaria una curva para recorrer todas las diagonales.

Si probamos ahora con un rectángulo 4×6 veremos que necesitamos 2 curvas distintas.

Esta es una de las 2 curvas del kolam 4×6.

Aquí tenemos el kolam 4×6 completo, con sus dos curvas, la primera en azul y la segunda en verde.

En general, si el rectángulo de pivotes es m×n, para completar el kolam necesitamos un número de curvas igual al máximo común divisor de m y n. Veamos más ejemplos.

Tenemos el rectángulo 6×9, sabemos que el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, por lo tanto es de esperar que sean tres las curvas cerradas que componen el kolam.

Esta es la primera curva. 

La segunda curva del kolam 6×9 es una versión agrandada de la curva 2×3 (véase el gráfico de más arriba). Proponemos al lector que investigue las condiciones para que curvas pequeñas se repitan en tamaño mayor.

La tercera curva.

El kolam 6×9 completo, con sus tres curvas.
También podemos comprobar que en el rectángulo 6×8 está compuesto por 2 curvas, ya que su máximo común divisor es 2. Se puede observar que dividiendo este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×6.



El rectángulo 6×8 completo con sus dos curvas.

Y un último ejemplo, el rectángulo 4×8, con 4 curvas, correspondientes al máximo común divisor de 4 y 8. Se puede observar, igual que en el anterior, que si dividimos este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×4.





El kolam completo 4×8, que en realidad es un kolam 4×4 duplicado.

Como se puede comprobar, ya con números pequeños empiezan a salirnos kolam interesantes y con bastantes volutas. ¿Qué será dibujar un kolam 18×24, compuesto de 6 curvas? ¿Y dibujar un kolam 35×49, compuesto de 7 curvas? La tarea se agranda con rapidez conforme nos imaginamos parejas de números cada vez más grandes con máximos comunes divisores también mayores.

En la siguiente entrada sobre el Kolam, veremos cómo se pueden ampliar los tipos de dibujos, cambiando la distribución de las tramas de pivotes, dejando huecos dentro de las tramas, e introduciendo entre los pivotes muros que excluyen del dibujo a ciertos puntos x para impedir que las curvas pasen por ellos. Todos los kolam se pueden dibujar siguiendo las reglas básicas de identificar los puntos x que contiene la trama, y trazar diagonales que pasen por dichos puntos x, usando los pivotes para girar la línea hasta encontrar el punto x más próximo y la siguiente diagonal.