Kolam (2) : Aspectos Aritméticos

Una vez que hemos aprendido a realizar las formas básicas del kolam, nos gustaría comentar en esta sencilla entrada algunos aspectos aritméticos bastante interesantes, en los que interviene el máximo común divisor de dos números.

En nuestro ejemplo de kolam básico 3×3 eran necesarias 3 curvas para completar el kolam. ¿Será una coincidencia lo del 3? No, como ya veremos: en un kolam cuadrado o rectangular se puede calcular de antemano el número de curvas que van a salir.

Cuando la trama es 3×3 pivotes, necesitamos 3 curvas cerradas diferentes para completar el kolam.

También pusimos un ejemplo de kolam 2×3, en él bastaba una curva para recorrer todo el kolam.

En esta trama 2×3 sólo ha sido necesaria 1 curva que, haciendo todas los giros y rebotes, ha completado el kolam.

Probemos ahora con un rectángulo 3×4. Se puede comprobar que el kolam también se completa con una sola curva.

Para el kolam de 3×4 empezamos en cualquier punto x y vamos recorriendo las diagonales.

Comprobaremos que todas las diagonales van siendo repasadas en un solo trazo.

Finalmente la curva se cierra sobre sí misma. Sólo ha sido necesaria una curva para recorrer todas las diagonales.

Si probamos ahora con un rectángulo 4×6 veremos que necesitamos 2 curvas distintas.

Esta es una de las 2 curvas del kolam 4×6.

Aquí tenemos el kolam 4×6 completo, con sus dos curvas, la primera en azul y la segunda en verde.

En general, si el rectángulo de pivotes es m×n, para completar el kolam necesitamos un número de curvas igual al máximo común divisor de m y n. Veamos más ejemplos.

Tenemos el rectángulo 6×9, sabemos que el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, por lo tanto es de esperar que sean tres las curvas cerradas que componen el kolam.

Esta es la primera curva. 

La segunda curva del kolam 6×9 es una versión agrandada de la curva 2×3 (véase el gráfico de más arriba). Proponemos al lector que investigue las condiciones para que curvas pequeñas se repitan en tamaño mayor.

La tercera curva.

El kolam 6×9 completo, con sus tres curvas.

También podemos comprobar que en el rectángulo 6×8 está compuesto por 2 curvas, ya que su máximo común divisor es 2. Se puede observar que dividiendo este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×6.

El rectángulo 6×8 completo con sus dos curvas.

Y un último ejemplo, el rectángulo 4×8, con 4 curvas, correspondientes al máximo común divisor de 4 y 8. Se puede observar, igual que en el anterior, que si dividimos este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×4.

El kolam completo 4×8, que en realidad es un kolam 4×4 duplicado.

Como se puede comprobar, ya con números pequeños empiezan a salirnos kolam interesantes y con bastantes volutas. ¿Qué será dibujar un kolam 18×24, compuesto de 6 curvas? ¿Y dibujar un kolam 35×49, compuesto de 7 curvas? La tarea se agranda con rapidez conforme nos imaginamos parejas de números cada vez más grandes con máximos comunes divisores también mayores.

En la siguiente entrada sobre el Kolam, veremos cómo se pueden ampliar los tipos de dibujos, cambiando la distribución de las tramas de pivotes, dejando huecos dentro de las tramas, e introduciendo entre los pivotes muros que excluyen del dibujo a ciertos puntos x para impedir que las curvas pasen por ellos. Todos los kolam se pueden dibujar siguiendo las reglas básicas de identificar los puntos x que contiene la trama, y trazar diagonales que pasen por dichos puntos x, usando los pivotes para girar la línea hasta encontrar el punto x más próximo y la siguiente diagonal.