[El Problema de la Semana] Caminando por el ecuador

Aquí tenemos un nuevo (pequeño) desafío:

Si pudiéramos recorrer la Tierra siguiendo el ecuador, la coronilla de nuestra cabeza describiría una línea más larga que la planta de los pies. ¿Qué magnitud tendría la diferencia entre estas longitudes?

Ilustremos la entrada y después escribamos la solución.

Aprovechamos para recordar cómo se definió originalmente el metro en 1795: como la diezmillonésima parte de la distancia que separa el ecuador terrestre de los polos. Posteriormente se actualizó la definición de metro, primero en 1889, mediante un patrón de platino e iridio conservado en los sótanos de la Oficina de Pesos y Medidas de París, y luego en 1960, como 1650763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86. La información y la imágen están tomadas de la wikipedia.

SOLUCIÓN:

Llamamos R a la longitud del radio terrestre. Podemos suponer que nuestros pies caminan a lo largo de una circunferencia (perfecta) de radio R. La distancia que tienen que recorrer nuestros pies se calcula mediante la fórmula de la longitud de una circunferencia:

L = 2πR

Llamamos e a nuestra estatura personal. Nuestra coronilla también traza una circunferencia, pero de radio R+e. Usando la misma fórmula de la circunferencia, podemos calcular la longitud que recorre nuestra coronilla.

L' = 2π(R + e) = 2πR + 2πe

Gráfico del problema.

Restando ambas longitudes:

L' − L = 2πR + 2πe − 2πR = 2πe

Si nos fijamos, nos puede parecer sorprendente que lo que mide el radio de la Tierra se simplifica en la resta y no influye en el resultado. La diferencia de magnitudes sólo depende de nuestra estatura: 2πe; si por ejemplo medimos 1,70 metros de estatura, la diferencia entre ambas líneas sería aproximadamente de 2·3,14·1,70 ≅ 10,7 metros, es decir, habría entre 10 y 11 metros de diferencia entre lo que recorren nuestros pies y lo que recorre nuestra coronilla.

Concretamente, la solución 2πe es la longitud de una circunferencia de radio nuestra estatura.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Matemáticas recreativas, de Yakob Perelman.